从 3D 空间中的相对坐标中查找绝对坐标

Question

我的问题很难解释，所以请多多包涵。我有一个带有 Forward、Right 和 Up 向量的随机对象。现在，想象一下这个特定的对象在所有三个轴上随机旋转。我将如何找到一个点相对于新旋转对象的真实坐标？

示例：

例如，假设彩色轴是“真实”轴，我将如何在给定其 Forward、Right 和 Up 向量（显然还有它的坐标）的情况下找到立方体的最前角。

我能想到的最好的方法是：

x=cube.x+pointToFind.x*(forward.x+right.x+up.x)
y=cube.y+pointToFind.y*(forward.y+right.y+up.y)
z=cube.z+pointToFind.z*(forward.z+right.z+up.z)

这有时会奏效，但由于明显的原因，当点的坐标之一为 0 时会失败。

简而言之，我不知道该怎么做，或者真的不知道如何准确地描述我正在尝试做的事情......这不是编程问题，而是一般数学问题。

Answer 1

通常，您必须将对象的所有角一个接一个地投影到目标方向上（即计算两个向量的标量或点积），并记住提供最大值的点。

由于立方体的特殊结构，可以进行多种简化。您可以将目标方向矢量旋转到局部框架中。然后可以从其局部坐标的符号中读取最大投影的确定。如果坐标的符号为正，则通过将立方体坐标最大化为 1 来最大化标量积。如果符号为负，则通过将立方体坐标最小化为 0 来最大化标量积。

逆向旋转与用旋转矩阵的列（前、右、上）形成点积是一样的，所以

 result = zero-vector; //zero corner of the cube
 if( dot( target, forward ) > 0 )
      result += forward;

 if( dot( target, up ) > 0 )
      result += up;

 if( dot( target, right ) > 0 )
      result += right;