从给定的二维点列表中找到所有凸四边形的算法

Question

我必须编写一个程序来从给定的二维点列表中找到所有凸四边形。 我已经尝试过使用矢量叉积，但它似乎不是一个正确的解决方案。

也许有一些有效的算法可以解决这个问题，但我找不到。

这是一个输入和输出的例子：

输入

点数： 6 点坐标（x，y）： 0 0 0 1 1 0 1 1 2 0 2 1

输出

凸四边形的数量： 9

Answer 1

一个四边形是凸的，如果它的对角线相交。反之，如果两条线段相交，则它们的四个端点构成一个凸四边形。

每一对点给你一条线段，两条线段之间的每一个交点对应一个凸四边形。

您可以使用比较所有分段对的朴素算法或Bentley–Ottmann algorithm 找到points of intersection。前者取 O(n⁴);而后者 O((n² + q) log n) （其中 q em> 是凸四边形的数量）。在最坏的情况下q = Θ(n⁴)——考虑一个圆上的n个点——所以Bentley—— Ottmann 并不总是更快。

这是 Python 中的原始版本：

import numpy as np
from itertools import combinations

def intersection(s1, s2):
    """
    Return the intersection point of line segments `s1` and `s2`, or
    None if they do not intersect.
    """
    p, r = s1[0], s1[1] - s1[0]
    q, s = s2[0], s2[1] - s2[0]
    rxs = float(np.cross(r, s))
    if rxs == 0: return None
    t = np.cross(q - p, s) / rxs
    u = np.cross(q - p, r) / rxs
    if 0 < t < 1 and 0 < u < 1:
        return p + t * r
    return None

def convex_quadrilaterals(points):
    """
    Generate the convex quadrilaterals among `points`.
    """
    segments = combinations(points, 2)
    for s1, s2 in combinations(segments, 2):
        if intersection(s1, s2) != None:
            yield s1, s2

还有一个示例运行：

>>> points = map(np.array, [(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1)])
>>> len(list(convex_quadrilaterals(points)))
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