直线和球体的交点

Question

我正在尝试找到球体和线之间的交点，但老实说，我不知道该怎么做。 谁能帮我解决这个问题？

Answer 1

将该行表示为t的函数：

{ x(t) = x0*(1-t) + t*x1
{ y(t) = y0*(1-t) + t*y1
{ z(t) = z0*(1-t) + t*z1

当t = 0 时，它将在一个端点(x0,y0,z0)。当t = 1时，它将在另一个端点(x1,y1,z1)。

在t（其中(xc,yc,zc) 是球心）中写出到球心（平方）的距离公式：

f(t) = (x(t) - xc)^2 + (y(t) - yc)^2 + (z(t) - zc)^2

当f(t) 等于R^2 时求解t（R 是球体的半径）：

(x(t) - xc)^2 + (y(t) - yc)^2 + (z(t) - zc)^2 = R^2

A = (x0-xc)^2 + (y0-yc)^2 + (z0-zc)^2 - R^2
B = (x1-xc)^2 + (y1-yc)^2 + (z1-zc)^2 - A - C - R^2
C = (x0-x1)^2 + (y0-y1)^2 + (z0-z1)^2

将A + B*t + C*t^2 = 0 求解为t。这是一个普通的quadratic equation。

您最多可以获得两个解决方案。 t 位于 0 和 1 之间的任何解决方案都是有效的。

如果您得到t 的有效解，请将其代入第一个方程以获得交点。

我假设您的意思是线段（两个端点）。如果您想要一条完整的线（无限长），那么您可以沿线选择两个点（不要太近），然后使用它们。也让t 成为任何实际值，而不仅仅是介于 0 和 1 之间。

编辑：我修正了B 的公式。我把标志弄混了。感谢 M Katz，提到它不起作用。

Answer 2

我认为 Markus Jarderot 的解决方案存在错误。不知道问题是什么，但我很确定我将它忠实地翻译成代码，当我试图找到一条已知穿过球体的线段的交点时，我得到了一个负判别式（没有解决方案）。

我发现了这个：http://www.codeproject.com/Articles/19799/Simple-Ray-Tracing-in-C-Part-II-Triangles-Intersec，它给出了类似但略有不同的推导。

我把它变成了下面的 C# 代码，它适用于我：

    public static Point3D[] FindLineSphereIntersections( Point3D linePoint0, Point3D linePoint1, Point3D circleCenter, double circleRadius )
    {
        // http://www.codeproject.com/Articles/19799/Simple-Ray-Tracing-in-C-Part-II-Triangles-Intersec

        double cx = circleCenter.X;
        double cy = circleCenter.Y;
        double cz = circleCenter.Z;

        double px = linePoint0.X;
        double py = linePoint0.Y;
        double pz = linePoint0.Z;

        double vx = linePoint1.X - px;
        double vy = linePoint1.Y - py;
        double vz = linePoint1.Z - pz;

        double A = vx * vx + vy * vy + vz * vz;
        double B = 2.0 * (px * vx + py * vy + pz * vz - vx * cx - vy * cy - vz * cz);
        double C = px * px - 2 * px * cx + cx * cx + py * py - 2 * py * cy + cy * cy +
                   pz * pz - 2 * pz * cz + cz * cz - circleRadius * circleRadius;

        // discriminant
        double D = B * B - 4 * A * C;

        if ( D < 0 )
        {
            return new Point3D[ 0 ];
        }

        double t1 = ( -B - Math.Sqrt ( D ) ) / ( 2.0 * A );

        Point3D solution1 = new Point3D( linePoint0.X * ( 1 - t1 ) + t1 * linePoint1.X,
                                         linePoint0.Y * ( 1 - t1 ) + t1 * linePoint1.Y,
                                         linePoint0.Z * ( 1 - t1 ) + t1 * linePoint1.Z );
        if ( D == 0 )
        {
            return new Point3D[] { solution1 };
        }

        double t2 = ( -B + Math.Sqrt( D ) ) / ( 2.0 * A );
        Point3D solution2 = new Point3D( linePoint0.X * ( 1 - t2 ) + t2 * linePoint1.X,
                                         linePoint0.Y * ( 1 - t2 ) + t2 * linePoint1.Y,
                                         linePoint0.Z * ( 1 - t2 ) + t2 * linePoint1.Z );

        // prefer a solution that's on the line segment itself

        if ( Math.Abs( t1 - 0.5 ) < Math.Abs( t2 - 0.5 ) )
        {
            return new Point3D[] { solution1, solution2 };
        }

        return new Point3D[] { solution2, solution1 };
    }

Answer 3

没有足够的声誉来评论 M Katz 的答案，但他的答案假设这条线可以在每个方向上无限延伸。如果只需要线段的交点，则需要 t1 和 t2 小于 1（基于参数化方程的定义）。请在下面查看我在 C# 中的答案：

        public static Point3D[] FindLineSphereIntersections(Point3D linePoint0, Point3D linePoint1, Point3D circleCenter, double circleRadius)
    {

        double cx = circleCenter.X;
        double cy = circleCenter.Y;
        double cz = circleCenter.Z;

        double px = linePoint0.X;
        double py = linePoint0.Y;
        double pz = linePoint0.Z;

        double vx = linePoint1.X - px;
        double vy = linePoint1.Y - py;
        double vz = linePoint1.Z - pz;

        double A = vx * vx + vy * vy + vz * vz;
        double B = 2.0 * (px * vx + py * vy + pz * vz - vx * cx - vy * cy - vz * cz);
        double C = px * px - 2 * px * cx + cx * cx + py * py - 2 * py * cy + cy * cy +
                   pz * pz - 2 * pz * cz + cz * cz - circleRadius * circleRadius;

        // discriminant
        double D = B * B - 4 * A * C;

        double t1 = (-B - Math.Sqrt(D)) / (2.0 * A);

        Point3D solution1 = new Point3D(linePoint0.X * (1 - t1) + t1 * linePoint1.X,
                                         linePoint0.Y * (1 - t1) + t1 * linePoint1.Y,
                                         linePoint0.Z * (1 - t1) + t1 * linePoint1.Z);

        double t2 = (-B + Math.Sqrt(D)) / (2.0 * A);
        Point3D solution2 = new Point3D(linePoint0.X * (1 - t2) + t2 * linePoint1.X,
                                         linePoint0.Y * (1 - t2) + t2 * linePoint1.Y,
                                         linePoint0.Z * (1 - t2) + t2 * linePoint1.Z);

        if (D < 0 || t1 > 1 || t2 >1)
        {
            return new Point3D[0];
        }
        else if (D == 0)
        {
            return new [] { solution1 };
        }
        else
        {
            return new [] { solution1, solution2 };
        }
    }

Answer 4

您可以使用 Wolfram Alpha 在以球体为中心的坐标系中求解。

在这个系统中，方程是：

球体：

     x^2 + y^2 + z^2 = r^2  

直线：

    x = x0 + Cos[x1] t
    y = y0 + Cos[y1] t
    z = z0 + Cos[z1] t 

Then we ask Wolfram Alpha to solve for t：（试试看！）

之后您可以再次更改为原始坐标系（简单的平移）

Answer 5

求 (x,y,z) 中描述直线和球体的两个方程的解。

可能有 0、1 或 2 个解决方案。

• 0 表示它们不相交
• 1 表示直线与球体相切
• 2 表示直线穿过球体。

Answer 6

这是一个更简洁的公式，它使用内积，少于 100 个 LOC，并且没有外部链接。此外，问题是针对一条线而不是线段提出的。

假设球体以C 为中心，半径为r。该行由P+l*D 描述，其中D*D=1。 P 和 C 是点，D 是向量，l 是数字。

我们设置了PC = P-C、pd = PC*D 和s = pd*pd - PC*PC + r*r。如果s < 0 没有解决方案，如果s == 0 只有一个，否则有两个。对于我们设置l = -pd +- sqrt(s)的解决方案，然后插入P+l*D。

Answer 7

或者你可以找到两者的公式：
line：(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c，是你能找到的点之间线段的对称方程。
球体：(x-xc)^2+(y-yc)^2+(z-zc)^2 = R^2.

使用对称方程找出 x 和 y 以及 x 和 z 之间的关系。

然后根据 x 将 y 和 z 代入球体方程。
然后找到x，然后就可以找到y和z了。

如果 x 给你一个假想的结果，这意味着直线和球体不相交。

Answer 8

我没有评论 Ashavsky 解决方案的声誉，但最后的检查需要更多调整。

if (D < 0)
    return new Point3D[0];
else if ((t1 > 1 || t1 < 0) && (t2 > 1 || t2 < 0))
    return new Point3D[0];
else if (!(t1 > 1 || t1 < 0) && (t2 > 1 || t2 < 0))
    return new [] { solution1 };
else if ((t1 > 1 || t1 < 0) && !(t2 > 1 || t2 < 0))
    return new [] { solution2 };
else if (D == 0)
    return new [] { solution1 };
else
    return new [] { solution1, solution2 };