如何使用Java求解方程组？ [关闭]

Question

这就是问题所在，我有这个方程系统（作为示例），我需要求解并找到 x 和 y 值：

(x-0)^2+(y-5)^2=12,25
(x-0)^2+(y-0)^2=2,25

不要担心0'os，这会根据检测到的点而变化，这只是一个例子。

据我了解，我无法在这里使用 Craner 规则，所以我迷路了，我不知道如何编程。手工很简单，但是如何为此编写算法呢？ 有什么建议吗？

编辑：这是方程的样子以及我如何手动求解它们的图片：http://i.imgur.com/Gm29Cfw.jpg（逐步解决方案：http://i.imgur.com/ZvraQoZ.jpg） 手动求解的过程非常简单：我有二次方程系统。然后，我采用第二个等式并在该等式中找到 x 等于什么。所以，通过这样做，我现在知道 x 等于什么。在这一步之后，我将 x 值放入第一个值中。通过这样做，我确保第一个方程只有一个缺失变量。我通常解决它并得到 y 等于。然后，我将 y 值放在 x 值上，我得到了答案。

Answer 1

好的，这是一个想法，但我还没有实现它并检查它是否真的有效。

在数学上，这两个方程描述了圆。

令 (a,b) 为第一个圆的中心，sqrt(r_1) 为它的半径，让 (​​c,d) 为第二个圆的中心，sqrt(r_2) 为它的半径。然后，在笛卡尔坐标中，圆上的点分别满

(x - a)^2 + (y-b)^2 = r_1

或

(x - c)^2 + (y-d)^2 = r_2

我们现在用两个功能来描述圆：上半部分和下半部分。这些是涉及平方根的函数。所以如果我们有

(x - a)^2 + (y-b)^2 = r_1

然后求解 y 给出（通过 wolfram alpha）

(y-b)^2 = r_1 - (x-a)²

y = b + sqrt(-a²+2ax+r_1-x²)

或

y = b - sqrt(-a²+2ax+r_1-x²)

我们也可以用这两个方程来表示另一个圆的下部和上部，方法是将(a,b) 与(c,d) 交换，将r_1 与r_2 交换。

关键是，一旦我们有两个 y_1 = f(x) 和 y_2 = g(x) 的图，那么我们可以找到它们与 f(x) = g(x) 或等效地 f(x) 的交集 - g(x) = 0。为此，我们可以使用牛顿迭代法找到的近似解！我们还可以计算所需的导数：

所以，整个想法是我们将每个圆圈分成两个功能：上半部分和下半部分。然后，我们检查第一个圆的上部是否与描述第二个圆的上部或第二个圆的下部的函数相交。与下部相同，我们再次检查其他功能的上部和下部。而求交点，我们可以使用近似牛顿法。

所以，对于上面的例子：

(x-0)^2+(y-5)^2=12,25

我们得到上下函数为

y = 5 + sqrt(12.25-x^2) y = 5 - sqrt(12.25 -x^2)

我们可以很好地绘制它们

相反，第二个圆 ((x-0)^2+(y-0)^2=2,25) 由方程式描述

y = 0 + sqrt(2.25-x^2) y = 0 - sqrt(2.25-x^2)

现在，如果我们同时查看所有这些图表：

我们发现有一个路口！ :)。在第一个圆圈的下部和第二个圆圈的上部之间。如果我们现在形成这两个函数之间的差异，我们会得到下面的函数图：

f(x) = 5 - sqrt(12.25 -x^2) g(x) = 0 + sqrt(2.25-x^2)

f(x)-g(x) = 5 - sqrt(12.25 -x^2) - sqrt(2.25-x^2)

如果我们绘制它

我们可以看到，如果我们找到该图的零点，我们将得到正确的解 x = 0！ :)

一旦我们有了这个解，我们就可以消除任一方程中的一个变量

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r_1

我们将收到一个仅在 y 中二次的方程，可以通过通解公式（pq-formula 或 abc-formula）求解。

希望这能给你一些想法。