base-2：为什么 DECIMAL_DIG - DIG == 2 或 3？答案

【问题标题】：base-2: why DECIMAL_DIG - DIG == 2 or 3?base-2：为什么 DECIMAL_DIG - DIG == 2 或 3？
【发布时间】：2021-10-05 11:36:48
【问题描述】：

base-2：为什么 DECIMAL_DIG - DIG == 2 或 3？

例子：

FLT_DECIMAL_DIG - FLT_DIG == 9 - 6 == 3
DBL_DECIMAL_DIG - DBL_DIG == 17 - 15 == 2
LDBL_DECIMAL_DIG - LDBL_DIG == 21 - 18 == 3
FLT16_DECIMAL_DIG - FLT16_DIG == 5 - 3 == 2

额外：是否保证在任何使用 base-2 的给定实现中，这种差异将是 2 或 3？

【问题讨论】：

标签： c floating-point c11

【解决方案1】：

是的，对于基数为 2 的基数，xxx_DECIMAL_DIG - xxx_DIG 将是 2 或 3。

非正式证明

对于浮点类型：

b 是基数或基数或指数表示（整数 > 1）
p 是精度（有效数字中的 base-b 位数）（我假设这是 > 1 和有理数）

xxx_DECIMAL_DIG 值定义为：

⎰ p log₁₀b — 如果 b 是 10 的幂
⎱ ⌈1 + p log₁₀b⌉ — 否则

xxx_DIG 值定义为：

⎰ p log₁₀b — 如果 b 是 10 的幂
⎱ ⌊(p - 1) log₁₀b⌋ — 否则

对于 b = 2，log₁₀b ≈ 0.301 并且是无理数 (proof)。
∴ p log₁₀ 2 是无理数（因为 p 是有理数且 > 1）。
∴ ⌈p log₁₀ 2⌉ - ⌊p log₁₀ 2⌋ = 1.
∴ ⌈1 + p log₁₀ 2⌉ - ⌊p log₁₀ 2⌋ = 2. — ① ⌊p log₁₀ 2⌋ - ⌊(p - 1) log₁₀ 2⌋ ∈ {0, 1 }。 — ② (因为 0 10 2 ∴ ⌈1 + p log₁₀ 2⌉ - ⌊(p - 1) log₁₀ 2⌋ ∈ { 2, 3}。 —（从①和②） ∎

【讨论】：

【解决方案2】：

给定xxx_DECIMAL_DIG 和xxx_DIG 的定义，我们有
2 <= ceil(1+p*log10(2)) - floor((p-1)*log10(2)) <= 3
简化：

2 <=     ceil(1+p*log10(2)) - floor((p-1)*log10(2)) <= 3
2 <= 1 + ceil(  p*log10(2)) - floor((p-1)*log10(2)) <= 3
let q = p – 1
2 <= 1 + ceil(  (1 + q)   *log10(2)) - floor((p-1)*log10(2)) <= 3
2 <= 1 + ceil(log10(2) + q*log10(2)) - floor(  q  *log10(2)) <= 3
let R = trunc(q*log10(2))
let r = trunc(q*log10(2)) – R, r is [0.0 …1.0)
log10(2) = 0.301…
2 <= (1 + R + ceil(0.301… + r)) – (R + floor(r)) <= 3
2 <=  1     + ceil(0.301… + r)       – floor(r)  <= 3
2 <=  1     + ceil(0.301… + r)       – 0         <= 3
When r <= 1.0 - 0.301…
  2 <= 1 + 1 <= 3
Otherwise r > 1.0 - 0.301…
  2 <= 1 + 2 <= 3

即使显示差异是 2 或 3，我想接下来的问题是为什么是
xxx_DECIMAL_DIG: ceil(1+p*log10(2))
和
xxx_DIG: floor((p-1)*log10(2))？

【讨论】：