从n个排序数组中获得k个最小值的时间复杂度？答案

【问题标题】：Time complexity of obtaining the k smallest values overall from n sorted arrays?从n个排序数组中获得k个最小值的时间复杂度？
【发布时间】：2014-01-10 17:16:33
【问题描述】：

我有 n 个数组。这些数组中的每一个都可以是无限长的。（长度可以是可变的）。所有这 n 个数组都已排序。

现在我想从这 n 个已排序的数组中取出前 k 个最小的元素。

例如 n=5 和 k=10

2 4 6 7 9 

23 45 67 78 99

1 2 6 9 1000 4567 6567 67876

45 56 67 78 89 102 103 104

91 991 9991 99991

现在答案应该是1 2 4 6 7 9 23 45 56 67

在最坏的情况下是 O(n*k)，即 O(n^2)，在最好的情况下是 O(k)？

【问题讨论】：

运行时还是空间？那么空间限制呢？
@Gumbo 没有空间限制，足够的内存
当您说“最大”时，我认为您的意思是“最小”
一个可以写很多算法来解决这个问题，它们之间会有很多时间复杂度。您是否有特定的想法，或者您是否要求我们给您（可能是最快的）一个？如果您要求我们给您一个，您应该展示您自己想出一个的尝试。
@Dukeling 如果你能给我，我要求最好的情况。

标签： algorithm sorting time-complexity

【解决方案1】：

我认为是 O(n + k.log(n))。

首先在每个数组中构建一个最小元素的堆（也存储数组的索引）。构建大小为 n 的堆是 O(n)。然后，重复 k 次：从堆中取出一个元素（即 O(log n)），然后从数组中插入下一个最小的元素，该元素来自于该数组（也是 O(log n)）。总的来说，这是 O(n + k.log(n))。

【讨论】：

其实你应该从最大的开始，但是，是的，这是正确的。
取决于您是否相信问题或给出的示例:)
@VikramBhat 不，请参阅：stackoverflow.com/questions/9755721/build-heap-complexity
+1。这就是答案。我最初在这里误解了您对n 的使用。干得好。

【解决方案2】：

Anonymous 提供的答案在这种情况下是更好的解决方案，因为我们知道各个数组都已排序。

在最坏的情况下，您可以在 O(n log k) 时间内使用堆来完成此操作。它将需要 O(k) 额外空间。

initialize a MAX heap
for each array
    for each item in the array
        if (heap.count < k)
            heap.insert(item)
        else if (item < heap.peek())
        {
            // item is smaller than the largest item on the heap
            // remove the smallest item and replace with this one
            heap.remove_root()
            heap.insert(item)
        }
        else
        {
            break;  // go to next array
            // see remarks below
        }

因为您知道数组最初是排序的，所以您可以包含我展示的最终优化。如果您正在查看的项目不小于堆上已经存在的最大项目，那么您知道当前数组中没有其他项目会更小。所以你可以跳过当前数组的其余部分。

这是为您提供最小的k 项目的算法。如果您想要最大的k 项目，请构建一个MIN 堆并将if (item < heap.peek()) 更改为if (item > heap.peek())。在这种情况下，您可以通过向后遍历数组来获得更好的性能。这将减少堆插入和删除的数量。如果您不向后遍历数组，您将无法使用我展示的优化。

另一种方法是将所有项目连接到一个数组中并使用Quickselect。 QuickSelect 是一种 O(n) 算法。 Empirical evidence 建议在 k < .01*n 时使用堆更快。否则，快速选择会更快。当然，您的里程可能会有所不同，并且必须从多个数组中创建一个数组会增加 Quickselect 的处理和内存开销。

【讨论】：