如何在 O(n) 中获得二维数组中的最大和？答案

【问题标题】：How to get the biggest sum in 2D array in O(n)?如何在 O(n) 中获得二维数组中的最大和？
【发布时间】：2015-01-02 21:20:30
【问题描述】：

我需要计算二维数组中可能的最大和，但代码必须在 O(n) 的效率内。 n 是数组中的数字个数。

数组就像楼梯，用户只需要输入N个数字。我们不需要检查它是否是一个有效的数字。

数字将显示在数组中，如下所示：

2 3

4 5 6

7 8 9 10

每一行还有一个数字。

您需要从第一行或最后一行开始获得最大的总和路径。在每次迭代中，您只能向下移动一步，或沿对角线向下和向左/向下和向右移动一步。

也就是说，如果你从第一行开始，你可以去 2 或 3。假设你去 2；现在你只能去 4 或 5。如果你选择 5，你可以只去 7、8 或 9。或者如果你愿意，你可以去 1 > 3 > 6 > 8。但你不能去 1 > 2 > 6 > 10，因为 2 与 6 无关。

您也可以连续选择一个数字。你不能去 1 > 2 > 3 > 6 > 8 > 9 > 10 或类似的东西。

我们也可以更改单元格的值，但路径必须相同。这意味着我可以将例如 9 更改为 50，但这不会很好，因为它在原始数组中不是一个好的路径。（这个数组中的最大和路径 1 > 3 > 6 > 10，所以我不能去不同的单元格）

我的问题是我需要这段代码以 O(n) 的效率运行。

我试图从最后一行开始检查它可以走的每条有效路径，我试图在每一种可能性中寻找最大的数字。第一个不是 O(n) 效率，第二个可能会得到错误的答案。

我也尝试从第一行开始，并扫描和比较所有步骤，但这又不是 O(n) 效率。

只是为了确保，我没有要求任何人为我编写代码，只是为了帮助我找出计算它的最佳方法。

顺便说一句，看到几个 cmets 并想在最后添加，我需要打印最大路径总和，而不是路径本身。

【问题讨论】：

乍一看，这似乎是一个练习，您将在其中构建路径树。树的每个节点是到达该节点的总和。最后，您将拥有终端节点，然后您将使用这些节点来查看每个路径的总和。
不清楚为什么 9 > 50 不是一条好路径。请将其编辑到您的问题中。
@NathanTuggy，我认为 9 到 50 与更改单元格值而不是路径有关。任何单元格值更改都必须使得它们不会通过使包含已更改单元格的路径的总和高于原始最高总和路径来改变最高总和路径。所以我想一个人可能会遍历矩阵并为矩阵的每个元素添加一些值。不知道为什么要更改单元格值，除非此约束是为了防止有人使用矩阵元素来保存路径总和？
对，但已发布的更改单元格值的限制包括“好路径”。这令人困惑。
Richard - 我认为你是对的，我尝试从上到下进行，但不是 O(n)。需要找出一种方法来处理它到 O(n)。 Nathan - 感谢您的编辑建议。我又写了一遍。希望现在它很好。刚刚看到richads 的评论——他是对的，我就是这个意思。

标签： java arrays algorithm multidimensional-array

【解决方案1】：

您可以自下而上确定最大总和。例如，最下面的两行是：

  4   5   6
 / \ / \ / \
7   8   9  10

现在将最大可能的总和累加到倒数第二行：

 12  14  16
 / \ / \ / \
7   8   9  10

例如，您可以在节点 4 处从 7 或 8 获得的最大值为 12。继续此操作，但使用最大和值，直到顶部：

     20
     / \
   16  19
   / \ / \
 12  14  16
 / \ / \ / \
7   8   9  10

顶部节点现在具有最大可能和：1 + 3 + 6 + 10 == 20。这种方法会破坏原始数据（因为它会用最大和覆盖它）并且它不会给你路径，只有最大和的值。

在这里，三角形数组看起来像一棵树，但你并没有真正构建一棵树：链接可以很容易地通过它们的位置来描述。

编辑：我现在意识到这并不能完全解决您的问题，因为它省略了向左的可能步骤，但原则仍然是好的：从自下而上，除了您需要考虑以下三个值，而不仅仅是两个。（我有点不愿意重新绘制 ASCII 树。:-)

编辑 II：正如@rpattiso 指出的那样，通过遵循从顶部开始的三个可能子节点的最大总和，您可以在累积树中获得最佳路径。

编辑三：当您将矩阵视为楼梯并考虑每个节点的三个子节点时，图形变为：

  20
   | \
  16  19
   | X | \
  12  14  16
   | X | X | \
   7   8   9  10

这里，X 表示两条交叉路径。请注意，第一列是一种特殊情况，因为该列中的节点只有两个子节点。

如果m 是行数，n = m*(m + 1)/2 是单元格数，并且如果您的数组由二维 C 样式数组 a[row][col] 表示，那么您的最大和算法为：

int row = m - 1;

while (row--) {        
    a[row][0] += max(a[row + 1][0], a[row + 1][1]);

    for (int col = 1; col < row + 1; col++) {
        int a1 = a[row + 1][col - 1];
        int a2 = a[row + 1][col];
        int a3 = a[row + 1][col + 1];

        a[row][col] += max(a1, a2, a3);
    }
}

你的最大总和是a[0][0]的值。

【讨论】：

最长的路径仍然编码在新树中，从顶部开始，向下选择最大值的分支，如果相等，则有多个解决方案。当沿着这条路径走时，你可以减去相邻的总和来取回路径上的原始值。
@rpattiso：好点。我没有看到，虽然现在你提到它，这是显而易见的。
谢谢。刚刚编辑了我的帖子 - 路径是什么并不重要，只是它的总和，所以你的想法很好......但它能给我 O(n) 吗？如何在不使用循环内循环的情况下检查 7+4 是否大于 8+4 ？因为我会得到一个未知数的数组...
您只访问了除底行之外的每个节点一次。每次访问，都要求三个子节点中的最大值，这是一个O(1)的运算，所以复杂度应该是O(n)。
非常感谢您的帮助，但我还是没搞定。我不知道如何像你一样写得这么好，所以我会链接到它的照片。如果我有这个数组：i.imgur.com/UKK4UpZ.png，我从 7 开始。做了“IF”来查看更大的，7+4 或 8+4。看到了8+4。在那之后，我必须检查哪个更大，7+5 或 8+5。看到 8+5，现在我将单元格的值从 5 更改为 13。稍后我需要用那个单元格检查 9，但它不再是 5，所以我会得到一个错误的答案......我明白了它在您发布的树中是如何工作的，但我无法在楼梯上找到它。

【解决方案2】：

一种选择是通过放置相关边来准备有向图，添加一个汇节点并从 1 运行 Dijkstra 到汇节点。虽然不会是线性的（接收节点是连接到 7 8 9 10 的节点）另一种解决方案可能是动态编程、自下而上（在第一个答案中描述）或自上而下

【讨论】：