在某些条件下找到最短路径

Question

让我介绍一下问题：

你有一个像这个一样的二维码（二维码在这个问题中总是一个正方形）。
one http://img11.hostingpics.net/pics/514457code.png
您可以从 QR 码顶部的任何位置开始（因此在第一行的任何位置），并且您必须找到到达底线任何位置的案例的路径（因此在最后一行的任何位置）。

你必须尽量减少路径中的黑格数，如果你有几条黑格数相同的路径，你必须找到最短的那一个。

solution 的示例：

找到一种算法来找到满足这些条件的最短路径。

我的解决方案

首先，我将问题视为有向网格图，其中每个像素都是一个顶点，每个顶点的边数与邻居数一样多。

例如，左上角的顶点可以到达它的右邻居和它的下邻居。

我将边缘的权重属性如下：

• 对于从白色外壳到黑色外壳的边缘 -> 重量为 1
• 对于从白盒到白盒的边缘 -> 权重 0 + 小值
• 对于从黑色外壳到白色外壳的边缘 -> 宽度为 0 + 一个小值
• 对于从黑色外壳到黑色外壳的边缘 -> 重量为 1

这里有一个小值（

因此，对于这种表示，令 V 为顶点数，W 为一条线中的顶点数，E 为边数，我们有 E = W(W-1)*2*2。

然后我创建 2 个子集：第一个包含所有可能的起始顶点（二维码的第一行，因此 W 个顶点），另一个包含可能的最终目的地（最后一行，因此 W 个顶点）。

我使用 Dijkstra 计算 O(V lg(V)) 中的最短路径（使用我使用的库），我对所有起始节点执行 W 次，并寻找到每个目标顶点的最短路径。

所以我找到了 O(V*W lg(V)) = O(V^3/2 Lg(V)) 中的最短路径。

问题

你有更好的解决这个问题的方法吗？使用网格图表示或其他方式？

Answer 1

这是一个更快的解决方案：

1. 让我们找到包含最少黑色单元格的路径。我们可以使用 0-1 广度优先搜索。通向白色单元格的边应具有权重0，通向黑色单元格的边应具有权重1。不需要从顶行的每个顶点单独运行它：我们可以在开始时将它们全部添加到队列中，然后只运行一次广度优先搜索（我们不应该忘记将所有白色单元格从黑色行之前的第一行）。

2. 让我们调用从u 到v 的有向边，如果dist[v] == dist[u] + weight(u, v) 很好。现在我们可以在只包含“好”边的图上运行简单的广度优先搜索（同样，从批次中顶行的所有单元格）（这次所有边的权重1）。

3. 现在我们可以从最后一行中选择最好的单元格。

这个解决方案需要O(V) 时间（它只是两个广度优先搜索），它总是产生一个最佳答案（不需要小的幻数）。