在整数编程中使用 min/max 运算符

Question

我正在尝试使用整数规划优化目标函数，我必须在我的函数中使用Max 运算符，我想知道有什么方法可以解决这个问题吗？

其实我的问题和Using min/max within an Integer Linear Program类似，但在某些方面有所不同：

• 所有变量都是二进制的。
• 请注意，x4 和 x5 出现在两个位置。
• 一种可能的解决方案是使用辅助变量，如similar question 的答案，但在我的示例中使用此解决方案时我很困惑。

示例：

最小化 (c1 * x1) + (c2 * x2) + (c3 * x3) + Max(c4 * x4, c5 * x5) + (c6 * x4) + (c7 * x5)

受
一些平等和不平等的限制

Answer 1

使用您链接的问题中的方法。表达式

Max(c4 * x4, c5 * x5)

可以替换为变量x6，前提是您添加以下附加约束：

x6 >= c4 * x4
x6 >= c5 * x5

所以你的总集变成：

Minimize (c1 * x1) + (c2 * x2) + (c3 * x3) + x6 + (c6 * x4) + (c7 * x5)

受制于：

some equality and inequality constraints

以及新的要求：

x6 >= c4 * x4
x6 >= c5 * x5

这有效，因为Max(c4 * x4, c5 * x5) 将采用值c4 * x4 或c5 * x5。引入的变量x6 将始终大于或等于这两个表达式，因此将始终大于或等于总的 max-expression。当适当地最小化时，x6 将在 max-expression 的值处触底。所以当最小化时，这两种形式是等价的。