令 A 为大小为 N 的数组。
如果i < j 和A[i] > A[j] ，我们将两个索引(i,j) 称为“逆”
我需要找到一个算法来接收大小为N（具有唯一数字）的数组，并在O(n*log(n)) 的时间内返回逆数。
【问题讨论】：
标签： arrays algorithm complexity-theory
您可以使用merge sort 算法。
在合并算法的循环中，左右两半都是按升序排序的，我们希望将它们合并成一个单独的排序数组。请注意，右侧的所有元素的索引都高于左侧的索引。
假设 array[leftIndex] > array[rightIndex]。这意味着在索引为 leftIndex 的元素之后的左侧的所有元素也都大于右侧的当前元素（因为左侧是按升序排序的）。因此右侧的当前元素会生成 numberOfElementsInTheLeftSide - leftIndex + 1 个反转，因此将其添加到您的全局反转计数中。
一旦算法完成执行，您就会得到答案，在最坏的情况下，合并排序是 O(n log n)。
【讨论】：
Cham 和 Patrascu 于 2010 年在 SIAM 上发表了一篇题为 Counting Inversions, Offline Orthogonal Range Counting, and Related Problems 的文章，该文章给出了一个耗时 O(n sqrt(log(n))) 的算法。这是目前最知名的算法，并改进了长期存在的 O(n log(n) / log(log(n))) 算法。摘自：
我们给出一个O(n sqrt(lg n))-时间算法 用于计算反转次数 在 n 个元素的排列中。这 改善了一个长期存在的先前 O(n lg n / lg lg n) 的界限 遵循Dietz的数据结构 [WADS'89]，并回答以下问题 安德森和彼得森 [SODA'95]。作为 众所周知，Dietz 的结果是最优的 对于相关的动态排名问题， 我们的结果表明显着 离线设置的改进。
我们的新技术非常简单：我们 执行一个“垂直分区” trie（类似于 van Emde Boas 树）， 并使用来自外部记忆的想法。 然而，该技术发现许多 应用：例如，我们获得
- 在 d 维度中，一种算法 回答 n 离线正交范围 及时计数查询O(n lgd-2+1/d n);
- 改进的 在线数据的构建时间 正交范围的结构 数数;
- 改进的更新时间 对于部分和问题；
- 更快 用于查找的字 RAM 算法 在排列的最大深度 轴对齐的矩形，对于 坡度选择问题。
作为奖励， 我们也给出一个简单的 (1 + ε)-近似算法 计算运行的反转 线性时间，改进了以前的 O(n lg lg n) 由 Andersson 和 彼得森。
【讨论】：
我认为最棒的方法是使用binary indexed tree（这只是因为我喜欢数据结构）。请注意，如果您只需要一个解决方案，那么合并排序也可以正常工作（我只是认为这个概念完全摇滚！）。基本思想是：构建一个数据结构，更新 O(log n) 中的值并回答查询“到目前为止，数组中已经出现了多少小于 x 的数字？”鉴于此，您可以轻松地回答有多少大于 x，这有助于以 x 作为该对中的第二个数字的反转。例如，考虑列表 {3, 4, 1, 2}。
在处理 3 时，到目前为止还没有其他数字，所以右侧有 3 的反演 = 0 在处理 4 时，到目前为止小于 4 的数字的数量 = 1，因此更大的数字（以及因此反转）的数量 = 0 现在，当处理 1 时，小于 1 的数字数量 = 0，这个更大的数字数量 = 2，这导致两个反转 (3,1) 和 (4,1)。同样的逻辑也适用于 2，它发现比它少 1 个数，因此比它大 2 个。
现在，唯一的问题是了解这些更新和查询是如何在日志 n 中发生的。上面提到的 url 是我读过的关于这个主题的最好的教程之一。
【讨论】：
这些是原始的 MERGE 和 MERGE-SORT 算法 来自 Cormen、Leiserson、Rivest、Stein 算法简介：
MERGE(A,p,q,r)
1 n1 = q - p + 1
2 n2 = r - q
3 let L[1..n1 + 1] and R[1..n2 + 1] be new arrays
4 for i = 1 to n1
5 L[i] = A[p + i - 1]
6 for j = 1 to n2
7 R[j] = A[q + j]
8 L[n1 + 1] = infinity
9 R[n2 + 1] = infinity
10 i = 1
11 j = 1
12 for k = p to r
13 if L[i] <= R[j]
14 A[k] = L[i]
15 i = i + 1
16 else A[k] = R[j]
17 j = j + 1
和
MERGE-SORT(A,p,r)
1 if p < r
2 q = floor((p + r)/2)
3 MERGE-SORT(A,p,q)
4 MERGE-SORT(A,q + 1,r)
5 MERGE(A,p,q,r)
在 MERGE infinity 的第 8 行和第 9 行是所谓的哨兵卡， 它的值使得所有数组元素都小于它。 要获得反转的数量，可以引入一个全局计数器， 假设 ninv 在调用 MERGE-SORT 之前初始化为零 而不是通过添加一行来修改 MERGE 算法 在第 16 行之后的 else 语句中，类似于
ninv += n1 - i
比在 MERGE-SORT 完成后 ninv 会保存倒数的次数
【讨论】：