算法的最低界限是多少？答案

【问题标题】：What is the lowest bound for the algorithm?算法的最低界限是多少？
【发布时间】：2015-02-16 17:43:16
【问题描述】：

让一个算法得到大小为n 的未排序数组。让一个号码k<=n。该算法打印从 1 到 k（升序）的 k 最小数字。算法的下限是多少（对于每个 k）？

现在，据我了解，如果我们想找到算法的下限，我们需要查看最坏的情况。如果是这样，那么显然最坏的情况是k=n。我们知道对数组进行排序以Omega(nlogn) 为界，因此正确答案是#4。

很遗憾，我错了，正确答案是#5。

为什么？

【问题讨论】：

我认为您将 Big Omega 与 Big O 混淆了。 Omega(...) 表示算法在最佳情况下运行得那么快，而不是最坏情况。
观察 #1：对于每个k，算法都可以在Omega(n) 中运行，这是不正确的。例如，k=n 表示我们实际上是在对一个数组进行排序，并且以Omega(nlogn) 为边界。
@Jon Omega(...) 表示算法在最好的情况下运行得这么快，而不是最坏的情况。 这是不正确的。 Big Omega 说明了一个函数渐近地被另一个函数限制在下面，但这个概念同样适用于任何类型的渐近（最佳、最坏情况、平均等）。换句话说，Big O 和 Big Omega 与复杂性类型完全正交。
@AlonAlon Omega 是渐近下界，因此 n*logn 也是 Omega(n)。
@Jon 有最坏情况下的大欧米茄边界和最好情况下的大 O 边界。 O 与 Omega 指定曲线从哪一侧渐近有界，而不是在何种情况下该界限有效/实现。

【解决方案1】：

可以在O(n + klogk)完成。

很容易看出这个解决方案是最优的 - 不能比O(klogk) 因子更好，因为否则分配 k=n 您可以更好地对任何数组进行排序，并且至少必须进行线性扫描才能找到所需的元素打印出来。

【讨论】：

k个数字需要排序，所以如果只允许进行比较，就需要更多的时间了。
@interjay 错过了必须排序的数组部分。让我添加它。
@amit，我理解你的分析。但是，我不明白为什么答案是＃5。你能解释一下吗？
其实klogk排序是针对使用比较的排序算法。我相信正确的答案是一个，因为对于k 的每种组合，我们都需要Omega(n) 操作。有了k = 1，我们就需要这么多。
@AlonAlon 我不知道 Omega(klogn) 和 Omega(n) 是什么意思，它们的意思是 Omega(n + klogn) - 如果是这样，这是不正确的，因为我们找到了一个不在此的答案复杂度类

【解决方案2】：

让我们试试线性时间：

总时间 = O(n)+O(k+K)+O(k) = O(n+k+K)

这里，k是小于或等于K的元素个数

【讨论】：

至少有一种算法允许点 1. - 它不是快速排序，其经典形式是 O(n²)。
@greybeard 快速排序的最坏情况是O(n^2)，而预期的情况是O(nlogn)，众所周知，如果我们使用快速排序对数组进行完全排序。但是只需一次迭代就足以将数组拆分为 2 以在一侧获得较小的元素而在另一侧获得较大的元素。所以运行一步快速排序的时间是Θ(n)。
你怎么知道k（因为你在回答中使用它，这与问题中介绍的方式不同）？
@greybeard 对答案进行了必要的编辑。它仍然可以用线性时间完成。