确定从 (a,b) 开始时是否可能到达对 (c,d) 的最佳方法

Question

每一对 (a,b) 都可以转换为 (a+b, b) 或 (a, a+b)。

给定一个函数 bool isPossible(int a, int b, int c, int d) ，根据是否可以通过 (a,b) 到达 (c,d) 的目标对，实现返回 true 或 false 的逻辑

// (a,b) -> (a, a+b)
// (a,b) -> (a+b,b)
// 2,3 -> 2,5 | 5,3 -> 7,5 | 2, 7 | 5, 8 | 8, 3 -> 12, 5 | 7, 12 | 9, 7 | 2, 9 |5, 13|13,8 | 11, 3 | 8, 11
// a,b -> a,a+b | a+b, b -> a, 2a+b | 2a +b , a+b | a+b, a+2b | a+2b, b -> a, 3a + b | 3a + b , 2a +b |

更新：在此处添加我的解决方案。 寻找其他优雅的解决方案会很有趣。

bool isPossible(int a,int b,int c,int d) {

    while(c>=a && d>=b) {
        if(a == c && b==d ) {
            return true;
        }
        int temp = c;
        c= c>d?c-d:c;
        d= d>=temp?d-temp:d;
    }
    return false;
}

更新：这个解决方案似乎只适用于 a 和 b 的正值。

Answer 1

您的解决方案是基于最好倒退的想法，即从 (c,d) 到 (a,b)。这是因为当你从 (a,b) 开始往前走时，下一对你有两种可能，而当你从 (c,d) 往后走时，你显然只有一种可能——你需要减去从最大值取最小值。

当a 和b 都为正时，情况确实如此。在这种情况下，a+b>a 和 a+b>b，因此给定一个 (c,d) 对，很容易确定转换链中的哪一步是最后一步（这取决于是 c>d 还是 d>c）。但是，如果a 或b 可以为负数，这种推理就会失效，因为在这种情况下，您不知道是否应该从d 中减去c，反之亦然。这是您的方法中的一个基本问题，我看不到解决它的简单方法。

如果我们只考虑正面a 和b 的情况，那么我们可以将您的解决方案修改为更有效的解决方案。

考虑c 远大于d 的情况。在这种情况下，您将多次从c 中减去d，直到新的c 变得小于d。你到底会到什么地步？显然是(c%d, d)。因此，您可以一步完成，得到与最大公约数的Euclidean algorithm 非常相似的代码。

但是，通过从减法到模除法的这种跳跃，您实际上可能已经跳过了所需的对（即 (a,b)）。但是，这很容易解决，因为其中一个数字没有变化，因此我们可以轻松确定这种情况。

代码将如下所示（未测试）

while (c > 0 && d > 0) {  // similar to how Eucledian algorithm is written
    if (c > d) {
        int new_c = c % d;
        if (b == d) {  // we should have seen (a,b) here
            return (a % d == new_c && a >= new_c && a <= c);
        }
        c = new_c;
    } else {
        //  a symmetrical case follows
        ...
    }
} 

这段代码的时间复杂度为O(log(c + d))，而您的减法代码在O(c+d) 中有效。

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至于a 和/或b 可以为负数的情况，这似乎是一个更困难的问题。

Answer 2

我还没有（数学）证明，但是这个函数：

static boolean myPossible(int a, int b, int c, int d) {
  // parenthesis not needed, but for better human readability...
  return (c % a == b && d % b == a) || (c % b == a && d % a == b);
}

...返回（总是）和你一样的结果！

“数值/蛮力测试”：

public class Test {

    private static final Random RAND = new Random();

    public static void main(String[] args) {

        for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
            // temporarily set to 0..1 (corner case)
            int a = RAND.nextInt(1);
            // temporarily set to 0..1 (corner case)
            int b = RAND.nextInt(1);
            int c = RAND.nextInt(10000);
            int d = RAND.nextInt(10000);
            assert (isPossible(a, b, c, d) == myPossible(a, b, c, d));
        }
    }

    static boolean isPossible(int a, int b, int c, int d) {
        while (c >= a && d >= b) {
            c = c > d ? c - d : c;
            d = d >= c ? d - c : d;
            if (a == c && b == d) {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }

    static boolean myPossible(int a, int b, int c, int d) {
        return c % a == b && d % b == a || c % b == a && d % a == b;
    }
}