是否可以从 (a,b) 移动到 (c,d)

Question

问题是输出是否可以从给定点(a,b)移动到目标(c,d)

我们仅限于正坐标

以下两个动作是可能的

(a,b) -> (a+b,b)
(a,b) -> (a,b+a)

例如，(1,1) 到 (5,4) 是 True 您可以执行以下操作：使用第二步 3 次，(1,1) -> (1,2) -> (1,3) -> (1,4) 使用第一步 1 次 (1,4) -> (5,4)

我想出了以下递归方法

def move(a,b,c,d):
    if a==c and b==d:
        return True
    elif a>c or b>d:
        return False
    else:
        ans = False
        if a < c:
            if move(a+b,b,c,d):
                return True
        if b < d:
            if move(a,b+a,c,d):
                return True
    return False

a) 我的解决方案是否涵盖所有可能的情况。由于我没有测试用例，因此我无法确定验证，但我认为我确实考虑了所有因素。

b) 我的解决方案的时间复杂度是多少？我认为它是指数级的，但不能肯定地说。

c) 是否有更好的解决方案（就时间复杂度而言）。我们可以使用动态规划吗？

感谢您的任何意见。

Answer 1

答案：

一个。是的，它涵盖了所有情况。

b.它的复杂性是指数级的，因为它试图从每个状态到达所有剩余状态。

c。是的，您可以通过记忆 dp[a][b] 来使用动态编程；

初始化dp[][]全部为-1；

def move(a,b,c,d):
    // memoizing is here.
    if dp[a][b] != -1
        return dp[a][b];
    dp[a][b] = INF; // INF = 100000000;
    if a==c and b==d:
        return dp[a][b] = True
    elif a>c and b>d:
        return dp[a][b] = False
    else:
        ans = False
        if a < c:
            if move(a+b,b,c,d):
                return dp[a][b] = True
        if b < d:
            if move(a,b+a,c,d):
                return dp[a][b] = True
    return dp[a][b] = False

如果使用动态规划，复杂度会降低到 O(c*d)

Answer 2

如果所有数字都必须是正数，那么我相信有一个更快的解决方案。

试图找出我们是否可以从(a, b) 到(14, 31)，我们可以注意到只有正数到达(14, 31) 的唯一方法是将第二条规则应用于(14, 17)。到达(14, 17) 的唯一方法是将第二条规则应用于(14, 3)。到达(14, 3) 的唯一方法是将第一条规则应用于(11, 3)。 (11, 3) 的唯一方法是将第一条规则应用于(8, 3)，依此类推。所以唯一能达到(14, 31)的值是

(14, 31) # Final
(14, 17) # Rule 2
(14, 3)  # Rule 2
(11, 3)  # Rule 1
(8, 3)   # Rule 1
(5, 3)   # Rule 1
(2, 3)   # Rule 1
(2, 1)   # Rule 2
(1, 1)   # Rule 1

所以算法非常简单。循环(c, d)，如果c > d 用(c - d, d) 替换它，如果c < d 用(c, d - c) 替换它，当你击中匹配时停止，当c == d 时，当c < a 或d < b 时。

Paul Hankin 在评论中描述的一个变体是O(log n)，尽管我不打算证明这一点。此版本为O(n)，其中n 是c 和d 中的较大者。连续的斐波那契数可能会采取最多的步骤。

当然，如果你可以有负数，这一切都是没有意义的，因为应用于(-17, 31) 的第一条规则也会产生(14, 31)，而你又回到了指数。