分治关系的时间复杂度

Question

我正在尝试两个计算以下函数的时间复杂度。 我尝试了两种不同的方法

1) 因为几乎每次都会有两个递归调用。 我们可以将递归关系写为T(n)=2T(n/2)+c。 这给了我们O(logn)。

2）但我们也可以说递归调用的总数将是 等于 n，这使我们的时间复杂度为O(n)。 因为每次数字都减半，但有两个递归调用。

哪一个是正确的？

我从这里看到了第二种方法https://www.geeksforgeeks.org/write-a-c-program-to-calculate-powxn/

在上面的链接中查看方法1的时间复杂度

注意->我知道我们可以存储 power(x,n/2) 的结果。

/* Function to calculate x raised to the power n */

int power(int x, unsigned int n) 
{ 
    if (n == 0) 
        return 1; 
    else if (n%2 == 0) 
        return power(x, n/2)*power(x, n/2); 
    else
        return x*power(x, n/2)*power(x, n/2); 
} 

Answer 1

1) 因为几乎每次都会有两个递归调用。 我们可以将递归关系写为T(n)=2T(n/2)+c。 这给了我们O(logn)。

不知何故，你在这里犯了一个错误。 T(n) = 2‍T(n/2) + c 确实不给O(log n);相反，它给出了 O(n)。 （这属于案例 1，https://en.wikipedia.org/wiki/Master_theorem_(analysis_of_algorithms)。）

2）但我们也可以说递归调用的总数将是 等于 n 这使我们的时间复杂度为O(n)。 因为每次数字都减半，但有两个递归调用。

这是正确的。

Answer 2

所以T(n)=2T(n/2)+c 这实际上是 O(n) 本身。

这是对此的正式证明。 T(n)=2T(n/2^1 )+c(2^0)

更进一步

T(n)=2(2T(n/2^2 )+c)+c(2^0 )

简化：

T(n)=2^2 T(n/2^2 )+c(2^0 )+c(2^1 )

如果你进一步打破它，你可以尝试一下，你会得到这样的表达

T(n)=2^3 T(n/2^3 )+c(2^0 )+c(2^1 )+c(2^2)

现在关键是你能把它打破多远，应该是当 2^something 等于 n 时，n/n=1 并且 T(1) 是常数。

这个东西可以很容易地计算为 log(n)base(2)。

所以通过检查你可以预测你的最终表达式会是这样的，

T(n)=2^log(n) T(n/2^log(n))+c(2^0)+c(2^1)+........+2 ^(log(n)-1)

=n T(1)+c(2^0+2^1+2^2+.......2^(log(n)-1))

=n T(1)+c(n-1)

因此，

T(n)= (T(1)+c)n-c 即 o(n)。