复杂性函数类

Question

如果f(n) 和g(n) 是自然数上的函数，这些语句意味着什么？

1. g(n) 在Θ(f(n)) 中。

和

1. 算法属于复杂度类Θ(f(n))。

Answer 1

1. g(n) 被a.f(n) 和b.f(n) 括起来（其中a<b 是两个常数），以保证足够大的n。

2. 算法运行时间顺序为Θ(f(n))。

Answer 2

如果g(n) 在Θ(f(n))) 中，则存在大于零的实常数a 和b 和大于零的整数常数n0，这样对于所有n > n0、a * f(n) <= g(n) <= b * f(n)。例如，函数g(n) = (1 + sin(n)) * n^2 是O(n^2)，因为我们可以选择a = 1、b = 2 和n0 = 1 并验证不等式是否成立。

如果算法属于复杂度类Θ(f(n))，则关系G 将大小为n 的输入映射到在某些隐含计算机上处​​理该输入的操作数m 具有以下属性：

1. min({m | G(n, m)}) 和 max({m | G(n, m)}) 均已定义。
2. 函数g(n) = min({m | G(n, m)})在Θ(f(n))中。
3. 函数h(n) = max({m | G(n, m)})在Θ(f(n))中。

Answer 3

有关大 Θ 符号的正式定义，请查看 Wikipedia。 更详细的解释您可以找到here。

对于算法n 是输入数据的大小（例如列表/数组/...中的元素数量），您将获得算法增加n 的“成本”的估计值. 成本通常是指基本运算（算术运算、比较、条件）的数量。

“算法”的简单示例：访问大小为 n 的容器中的任意元素：

• 对于数组，您可以直接访问每个元素。所以成本是不变的，在你的符号中意味着f(n) = 1
• 对于链接列表，您从头开始遍历列表。因此，平均而言，您必须通过列表的一半：f(n) = n/2（或等效的f(n) = n）。