二叉树中的秩和 - 有没有更好的方法

Question

也许这个问题不属于，因为这本身不是一个编程问题，如果是这种情况，我深表歉意。

我刚考了抽象数据结构，有一个问题：

树节点的等级定义如下：如果你是树的根，你的等级是0。否则，你的等级是你父母的等级+1。

设计一种算法，计算二叉树中所有节点的秩和。你的算法的运行时间是多少？

我相信我的回答可以解决这个问题，我的伪代码是这样的：

int sum_of_tree_ranks(tree node x)
{
    if x is a leaf return rank(x)
    else, return sum_of_tree_ranks(x->left_child)+sum_of_tree_ranks(x->right_child)+rank(x)
}

函数秩在哪里

int rank(tree node x)
{
    if x->parent=null return 0
    else return 1+rank(x->parent)
}

很简单，一棵树的秩和就是左子树的和+右子树的和+根的秩。

我相信这个算法的运行时间是n^2。我相信是这种情况，因为我们没有得到二叉树是平衡的。可能是树中有n 数字，但也有n 不同的“级别”，例如，树看起来像链表而不是树。所以为了计算叶子的等级，我们可能会上升 n 步。叶子的父亲将是 n-1 步等等......所以这就是n+(n-1)+(n-2)+...+1+0=O(n^2)

我的问题是，这是正确的吗？我的算法能解决问题吗？我对运行时的分析是否正确？最重要的是，有没有更好的解决方案来解决这个问题，而不是在n^2 中运行？

Answer 1

您的算法有效。你的分析是正确的。问题可以在O(n)时间内解决：（自己照顾树叶）

int rank(tree node x, int r)
{
    if x is a leaf return r
    else
        return rank(x->left_child, r + 1)+ ranks(x->right_child, r + 1) + r
}
rank(tree->root, 0)

Answer 2

您是对的，但是有一个 O(n) 解决方案可以让您使用更“复杂”的数据结构。 让每个节点保持其排名并在您添加/删除时更新排名，这样您就可以使用 O(1) 语句：

return 1 + node->left.rank + node->right.rank;

并对树上的每个节点执行此操作以实现 O(n)。

减少复杂性时间的经验法则是：如果您可以复杂化数据结构并添加功能以适应您的问题，您可以将复杂性时间减少到 O(n) 大多数时候。

Answer 3

它可以在O(n)时间解决，其中n is number of Nodes在二叉树中。
它只是根节点高度为零的所有节点的高度之和。 作为

算法： 输入具有左右子节点的二叉树
总和=0;
输出总和

PrintSumOfrank(root,sum):
if(root==NULL) return 0;
return PrintSumOfrank(root->lchild,sum+1)+PrintSumOfRank(root->Rchild,sum+1)+sum;

编辑：
这也可以使用遍历树的队列或级别顺序来解决。
使用队列的算法：

int sum=0;
int currentHeight=0;
Node *T;
Node *t1;
if(T!=NULL)
enque(T);
while(Q is not empty) begin
currentHeight:currentHeight+1 ;
for each nodes in Q do 
  t1 = deque();
 if(t1->lchild!=NULL)begin
   enque(t1->lchild);sum = sum+currentHeight; 
 end if
 if(t1->rchild!=NULL)begin
   enque(t1->rchild);sum = sum+currentHeight; 
 end if
end for 
end while 
print sum ;