编写几个 PDE 方程并在 FiPy 中求解

Question

我是 FiPy 的初学者，目前正在尝试求解图像的方程。它表示可压缩的等温一维流动。

作为边界条件，假设密度 rho 在出口（右）是恒定的，而 u 在入口（左）是恒定的。由于存在三个变量（rho、u 和 p），我添加了一个非常简单的相关性，例如 p = rhoconstant。我将如何编写和解决这个系统？ 那么，假设第 3 个方程稍微复杂一点，比如 p = rhof(p)，应该改什么？

我可以得到很多帮助

#1. Domain
L = 10
nx = L
dx = .1

mesh = fi.Grid1D(nx = nx, dx=dx)
x = mesh.cellCenters[0]

#2. Parameters values (Arbitrary) 
Lambda = 0.5    # Friction factor
D = 25      # Pipe diameter
z = 0.1 # Comprensibility factor
R = 0.0001  # Specific gas constant
T = 0.005   # Gas Temperature
Z = 0.1

#3. Variables
## Rho. 
rho = fi.CellVariable(name="rho", 
                      hasOld=True, 
                      mesh=mesh, 
                      value=0.)
rho.setValue(1.) 

v = fi.CellVariable(name="gas vel", 
                    hasOld=True, 
                    mesh=mesh, 
                    value=0.)
v.setValue(1.)

#4. Zero flux boundary conditions
rho.constrain (20., where = mesh.facesLeft)
v.constrain (4., where = mesh.facesRight)

#5. PDE
eq1 = fi.TransientTerm(var=rho) == - fi.ConvectionTerm(coeff=[v], var=rho)
eq2 = fi.TransientTerm(coeff = rho, var=v) == - fi.ConvectionTerm(coeff=[rho], var=v**2) - fi.ConvectionTerm(coeff=[Z*R*T], var = rho) - Lambda * rho * v * np.abs(v) / (2 * D)

eqn = (eq1 & eq2)

timeStepDuration = .1
steps = 50

#Plot the system for each time t
for step in range(steps):
    rho.updateOld()
    v.updateOld()
    eqn.sweep(dt=timeStepDuration)
    
    plt.plot(np.linspace(0, 1, nx), rho.value)
    plt.xlim(0,1.1)
    plt.ylim(0, 2.5)
    plt.show()
    

提前谢谢你。

Couple of PDE equations

Answer 1

求解一个方程中的密度和另一个方程中的速度不是问题（您不应将密度视为第二个方程中的常数，而应视为由第一个方程求解的标量场）。

我们有一个Stokes flow example 可以帮助您入门。

我们还有另一个example with a richer flow model，但那里还有很多其他事情可能会掩盖您感兴趣的内容。