求解 R 中的微分方程组（鞍点稳定性）答案

【问题标题】：Solving a system of differential equations in R (saddle point stability)求解 R 中的微分方程组（鞍点稳定性）
【发布时间】：2016-05-06 08:23:23
【问题描述】：

我想求解一个平面微分方程组，其中一个变量的初始条件给定，而另一个变量的初始条件需要确定，以确保系统收敛于平衡。如果均衡是鞍点稳定的（这对经济学中分析的最优控制问题引起的系统很感兴趣），那么这个变量存在一个唯一的初始值以实现收敛。因此，如何确定这样的初始值以便能够求解系统是主要问题。是否可以用R来确定这样一个初始条件的值从而求解系统？

系统是：

x' = sqrt(x)-x -y

y' = y*((sqrt(x))^(-1)-1)

x 和 y 非负数。分析表明存在一个唯一的平衡，x和y都严格为正，雅可比矩阵分析表明，一个特征值是正的，另一个是负的，因此该平衡是鞍点稳定的。如果给定 x(0)，比如等于 1，我们如何确定 y(0) 的值，以使系统收敛到 (x,y) 的正平衡值？我希望能够模拟 x 和 y 的独特收敛动态路径。有人可以帮我解决这个问题吗？

使用 deSolve 我们可以轻松求解系统，但我们需要指定 x(0) 和 y(0)。是否可以使用 deSolve 或其他软件包来确定 y(0) 的值是多少，从而使 y 收敛到其平衡值？可能我们应该依靠射击算法来猜测和重新校准初始条件 y(0)，但我不知道如何做到这一点。

【问题讨论】：

标签： r differential-equations saddle

【解决方案1】：

你想做的是计算“鞍的稳定流形”这是由

完成的

计算雅可比行列式，J，处于平衡状态，xStar
查找J的特征值和特征向量
使用y0 = Xstar - eps * eigenvector作为初始条件，其中eigenvector是J的负特征值对应的特征向量，eps是一个很小的数字（例如eps = 1e-7）
模拟动态，但在相反的时间，例如times = seq(-10,0, by=.1), in lsoda
重复步骤 3 和 4，但初始条件为 y0 = Xstar + eps * eigenvector

【讨论】：