使用 fipy 跨域耦合 pdes

Question

我对 fipy 完全陌生。我正在尝试使用 fipy 跨两个不同的域解决以下一组 pdes。变量是 p,n 和 ψ，q,Dn,Dp,un,up,e 和 N 都是常数。 N 和 e 将值从域 1 更改为域 2。域 2 是堆叠在类似矩形域 1 之上的矩形域。变量 p 和 n 将在域 1 中求解，ψ 将在两个域中求解- 域 1 和域 2。

qDn∇2n − qun∇.(n∇ψ) = q(n-10**11)/10**(-6), in Domain 1
qDp∇2p + qup∇.(p∇ψ) = -q(p-10**21)/10**(-6), in Domain 1
∇2ψ = −(p − n- N)/e in Domain  1
e∇2ψ = 0 in Domain 2

我为解决 pdes 编写的代码已附在下面。

! pip install pyparse
from fipy import *
L= 10**(-6)
h= 20**(-6)
tox= 0.1*10**(-6)
q=1.6*10**(-19)
un=0.14
up=0.045
Vth=0.026
Dp= up*Vth
Dn=un*Vth
p0= 10**(21)
n0= 10**(11)
e0=8.854*10**(-12)

mesh1= Grid2D(dx= L/100,nx=100,dy=h/200,ny=200)
mesh2= Grid2D(dx= L/100,nx=100,dy=tox/10,ny=10)
mesh3= mesh1+(mesh2+[[0],[h]]) # final mesh

x,y= mesh3.cellCenters
N= 10**21*(y<=h) # N changes from Domain 1 to Domain 2
e= 11.9*e0*(y<=h)+ 3.9*e0*(y>h) # e changes from Domain 1 to Domain 2


p1=CellVariable(name='hole',mesh=mesh3,hasOld=True,value=p0)
n1=CellVariable(name='electron',mesh=mesh3,hasOld=True,value=n0)
psi=CellVariable(name='potential',mesh=mesh3,hasOld=True,value=1)

p=p1*(y<=h) # for domain separation
n=n1*(y<=h) # for domain separation

mask1=((y==0))
mask2=(y==h)
mask3=(y==(h+tox))

# 1e50 is the large value 
# boundary conditions are p(x,0)= p0, n(x,0)= n0, psi(x,0)= 0, p(x,h)= p0*exp(-psi/Vth), n(x,h)= n0*exp(psi/Vth), psi(h+tox)= 5 
eq1=(DiffusionTerm(coeff=q*Dn,var=n)-ConvectionTerm(coeff=q*un*psi.faceGrad,var=n)==ImplicitSourceTerm(coeff=q*(n-10**5)/10**(-6),var=n)-ImplicitSourceTerm(mask1*1e50)-ImplicitSourceTerm(mask2*1e50)+mask1*1e50*n0+mask2*1e50*n0*numerix.exp(psi/Vth))
eq2=(DiffusionTerm(coeff=q*Dp,var=p)+ConvectionTerm(coeff=q*up*psi.faceGrad,var=p)==ImplicitSourceTerm(coeff=-q*(p-10**15)/10**(-6),var=p)-ImplicitSourceTerm(mask1*1e50)-ImplicitSourceTerm(mask2*1e50)+mask1*1e50*p0+mask2*1e50*p0*numerix.exp(psi/Vth))
eq3=(DiffusionTerm(coeff=e,var=psi)==ImplicitSourceTerm(coeff=-q*(p-n-N),var=psi)-ImplicitSourceTerm(mask1*1e50)-ImplicitSourceTerm(mask2*1e50)-ImplicitSouceTerm(mask3*1e50)+mask1*1e50*0+mask2*1e50*psi+mask3*1e50*5)
eq= eq1 & eq2 & eq3


for t in range (50):
 p.updateOld()
 n.updateOld()
 psi.updateOld()
 eq.solve(dt=10) # Since the equation does not have any transient term, a large value of dt=5 has been chosen

现在，我收到以下错误：ExplicitVariableError: 具有显式变量的术语不能与具有隐式变量的术语混合。

考虑到我编写代码的方式，我也不确定方程之间的耦合是否真的有效。

请注意，我实际上是在使用上述 pdes 解决 MOSCAP。 对此的任何帮助将不胜感激。

Answer 1

FiPy 不支持这种用法。一组方程控制在一个域上定义的一组变量。 n、p 和 psi 必须都存在于同一个网格中才能写入 eq3。

• 在mesh3 上定义所有方程。
• 在n 和p 上使用internal constraint。
• 您将无法使用mesh1.facesTop 和mesh1.facesBottom。以参数方式定义内部边界。

注意： e 应移动到eq3 中的扩散系数。这在物理上是正确的（电位移场的发散就像电荷一样），并且对于考虑子域之间边界的介电常数阶跃是必要的。