如何将平流扩散反应 PDE 与 FiPy 耦合

Question

我尝试使用 Matlab 函数 Pdepe (https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/pdepe.html) 解决对流-扩散-反应问题的一维耦合偏微分方程。与扩散项相比，在对流项较高的情况下，此功能无法正常工作。 因此，我搜索并找到了使用 Python 库 FiPy 来解决我的 PDEs 系统的选项。 我的初始条件是 4*L/10 的 u1=1

我的耦合方程具有以下形式：

du1/dt = d/dx(D1 * du1/dx) + g * x * du1/dx - mu1 * u1 / (K + u1) * u2

du2/dt = d/dx(D2 * du2/dx) + g * x * du2/dx + mu2 * u1 / (K + u1) * u2

我尝试通过结合 FiPy 示例（examples.convection.exponential1DSource.mesh1D、examples.levelSet.advection.mesh1D、examples.cahnHilliard.mesh2DCoupled）来编写它。

以下行不是一个工作示例，而是我第一次尝试编写代码。这是我第一次使用 FiPy（在文档的测试和示例之外），所以对于普通用户来说，这似乎完全没有抓住重点。

from fipy import *

g = 0.66
L = 10.
nx = 1000
mu1 = 1.
mu2 = 1.
K = 1.
D1 = 1.
D2 = 1.

mesh = Grid1D(dx=L / 1000, nx=nx)

x = mesh.cellCenters[0]
convCoeff = g*(x-L/2)

u10 = 4*L/10 < x < 6*L/10
u20 = 1.

u1 = CellVariable(name="u1", mesh=mesh, value=u10)
u2 = CellVariable(name="u2", mesh=mesh, value=u20)

## Neumann boundary conditions
u1.faceGrad.constrain(0., where=mesh.facesLeft)
u1.faceGrad.constrain(0., where=mesh.facesRight)
u2.faceGrad.constrain(0., where=mesh.facesLeft)
u2.faceGrad.constrain(0., where=mesh.facesRight)

sourceCoeff1 = -1*mu1*u1/(K+u1)*u2
sourceCoeff2 = 1*mu2*u1/(K+u1)*u2

eq11 = (TransientTerm(var=u1) == DiffusionTerm(coeff=D1, var=u1) + ConvectionTerm(coeff=convCoeff))
eq21 = (TransientTerm(var=u2) == DiffusionTerm(coeff=D2, var=u2) + ConvectionTerm(coeff=convCoeff))

eq12 = ImplicitSourceTerm(coeff=sourceCoeff1, var=u1)
eq22 = ImplicitSourceTerm(coeff=sourceCoeff2, var=u2)

eq1 = eq11 & eq12
eq2 = eq21 & eq22

eqn = eq1 & eq2
vi = Viewer((u1, u2))

for t in range(100):
    u1.updateOld()
    u2.updateOld()
    eqn.solve(dt=1.e-3)
    vi.plot()

感谢您的任何建议或更正。 如果您碰巧知道针对此类特定问题的好教程，我会很乐意阅读它，因为我没有找到比 FiPy 文档中的示例更好的东西。

Answer 1

几个问题：

• python chained comparisons 在 numpy 中不起作用，因此在 FiPy 中不起作用。所以，写

  u10 = (4*L/10 < x) & (x < 6*L/10)
  

  此外，这使u10 成为布尔字段，这使 FiPy 感到困惑，所以 写

  u10 = ((4*L/10 < x) & (x < 6*L/10)) * 1.
  

  或者，更好的是，写

  u1 = CellVariable(name="u1", mesh=mesh, value=0., hasOld=True)
  u2 = CellVariable(name="u2", mesh=mesh, value=1., hasOld=True)
  u1.setValue(1., where=(4*L/10 < x) & (x < 6*L/10))
  

• ConvectionTerm 采用向量系数。一种方法是

  convCoeff = g*(x-L/2) * [[1.]]
  

  表示一维 rank-1 变量
• 如果您声明 Variable 和 Term 适用于哪个 Term，则必须为所有 Terms 执行此操作，因此请编写，例如，

  ConvectionTerm(coeff=convCoeff, var=u1)
  

• ConvectionTerm(coeff=g*x, var=u1) 不代表 g * x * du1/dx。它表示 d(g * x * u1)/dx。所以，我相信你会想要

  ConvectionTerm(coeff=convCoeff, var=u1) - ImplicitSourceTerm(coeff=g, var=u1)
  

• ImplicitSourceTerm(coeff=sourceCoeff1, var=u1不代表 -1*mu1*u1/(K+u1)*u2，而是代表-1*mu1*u1/(K+u1)*u2*u1。所以，为了方程之间的最佳耦合，写

  sourceCoeff1 = -mu1*u1/(K+u1)
  sourceCoeff2 = mu2*u2/(K+u1)
  
  ... ImplicitSourceTerm(coeff=sourceCoeff1, var=u2) ...
  ... ImplicitSourceTerm(coeff=sourceCoeff2, var=u1) ...
  

• 正如@wd15 在 cmets 中指出的那样，您正在为两个未知数声明四个方程。 & 并不意味着“将两个方程加在一起”（可以使用 + 完成），而是意味着“同时求解这两个方程”。所以，写

  sourceCoeff1 = mu1*u1/(K+u1)
  sourceCoeff2 = mu2*u2/(K+u1)
  
  eq1 = (TransientTerm(var=u1) 
         == DiffusionTerm(coeff=D1, var=u1) 
         + ConvectionTerm(coeff=convCoeff, var=u1) 
         - ImplicitSourceTerm(coeff=g, var=u1) 
         - ImplicitSourceTerm(coeff=sourceCoeff1, var=u2))
  eq2 = (TransientTerm(var=u2) 
         == DiffusionTerm(coeff=D2, var=u2) 
         + ConvectionTerm(coeff=convCoeff, var=u2) 
         - ImplicitSourceTerm(coeff=g, var=u2) 
         + ImplicitSourceTerm(coeff=sourceCoeff2, var=u1))
  
  eqn = eq1 & eq2
  

• 必须用hasOld=True 声明CellVariable 才能调用updateOld()，所以

  u1 = CellVariable(name="u1", mesh=mesh, value=u10, hasOld=True)
  u2 = CellVariable(name="u2", mesh=mesh, value=u20, hasOld=True)
  

似乎有效的完整代码是here