在 MatLab 中使用约束最大化函数答案

【问题标题】：Maximizing function with constrains in MatLab在 MatLab 中使用约束最大化函数
【发布时间】：2013-04-10 21:16:06
【问题描述】：

我想在 MatLab 中最大化这个功能 - http://goo.gl/C6pYP

最大化 |功能 | 3x+6y+9z 域名 | 12546975x+525x^2+25314000y+6000y^2+47891250z+33750z^2

但变量 x、y 和 z 只能是非负整数。任何想法如何在 MatLab 中实现它？

【问题讨论】：

由于您已经在 wolframalpha 的问题中给出了全局最优值的位置，因此应该很容易推断 Z 可能为零或接近它，并且 x 和的全局最优值y 是（接近？）整数约束最优值的上限。

标签： matlab optimization maximize wolframalpha

【解决方案1】：

您需要整数这一事实使得这个问题很难解决（即无法在合理的时间内解决）。

您将不得不使用一些通用优化器，并通过蛮力尝试许多起始条件。您不能保证找到全局最大值。请参阅Matlab's optimization package 了解更多可能的优化器。

【讨论】：

【解决方案2】：

您必须将问题表述为 ILP（整数线性规划）。要解决 ILP，您需要对 matlab LP solver 的输入进行少量更改。您还可以从 LP 求解器获得解，然后将解四舍五入为整数。该解决方案可能不是最佳的，但会很接近。

您还可以在文件交换站点上使用mixed-integer liner programing 求解器，该站点又使用 LP 求解器。对于二进制变量，您可以使用 matlab binary integer programing solver。

【讨论】：

我认为这不能被表述为 ILP，因为约束是非线性的。
如果我们定义 x1=x, x2=x^2, x3=y, x4=y^2, x5=z, x6=z^2 等，即平方项作为新变量目标变为 3*x1+0*x2+6*x3+0*x4+9*x5+0*x6 并且约束也变为线性。因此可以应用 ILP。
约束将变为线性，但随后函数本身变为非线性。这无济于事。
函数在新变量上不是非线性的。你能更清楚地看到使用新变量的目标的非线性吗？
这无济于事，因为现在 x1^2==x2 已成为新的约束。

【解决方案3】：

好吧，幸运的是问题很小，所以我们可以暴力破解它。

首先得到一些上限，这里是如何为 x 做的：

xmax= 0;
while 12546975*xmax+525*xmax^2<=4000000000
    xmax=xmax+1;
end

这为我们提供了所有三个变量的上限。现在我们可以看到这些限制的乘积并不多，所以我们可以尝试所有解决方案。

bestval = 0;
for x = 0:xmax
    for y = 0:ymax
        for z = 0:zmax
            val = 3*x+6*y+9*z;
            if val> bestval && 12546975*x+525*x^2+25314000*y+6000*y^2+47891250*z+33750*z^2<=4000000000
                bestval = val;
                best = [x y z];
            end
        end
    end
end
best, bestval

这可能不是最有效的方法，但应该很容易阅读。

【讨论】：

对于实际尺寸问题，您可以先解决 NLP 松弛（无整数约束），然后应用分支定界。

【解决方案4】：

y和z(152,79)的最大值不是很高，所以我们可以一一检查快速找到解决方案（在我的笔记本电脑上只需0.040252秒）。

我的matlab代码：

function [MAX,x_star,y_star,z_star]=stackoverflow1
%maximize 3x+6y+9z
% s.t.    12546975x+525x^2+25314000y+6000y^2+47891250z+33750z^2<=4000000000
MAX=0;
y_max=solver(6000,25314000,-4000000000);
z_max=solver(33750,47891250,-4000000000);
for y=0:floor(y_max)
    for z=0:floor(z_max)
        x=solver(525,12546975,+25314000*y+6000*y^2+47891250*z+33750*z^2-4000000000);
        x=floor(x);
        if isnan(x) || x<0
            break;
        end
        if 3*x+6*y+9*z>MAX
            MAX=3*x+6*y+9*z;
            x_star=x;
            y_star=y;
            z_star=z;
        end
    end
end
end
function val=solver(a,b,c)
% this function solve equation a*x^2+b*x+c=0.
% this equation should have two answers,this function returns the bigger one only.
if b*b-4*a*c>=0
    val=(-b+sqrt(b*b-4*a*c))/(2*a);
else
    val=nan; % have no real number answer.
end
end

解决办法是：

最大 =

945

x_star =

287

y_star =

z_star =

【讨论】：