确定最大覆盖区域的算法答案

【问题标题】：Algorithm for determining largest covered area确定最大覆盖区域的算法
【发布时间】：2015-07-09 21:37:10
【问题描述】：

我正在寻找一种算法，我确信一定已经研究过了，但我对图论还不够熟悉，甚至不知道要搜索的正确术语。

在抽象中，我正在寻找一种算法来确定可达顶点 [x1, x2, xn] 和某个起始顶点之间的路由集，当每条边都有一个权重并且每条路由只能有一个给定的x的最大总重量。

更实际地说，我有道路网络，每个路段都有长度和最大行驶速度。我需要确定从网络上的任何起点在一定时间跨度内可以到达的区域。如果我能找到在那段时间内可以到达的最远点，那么我将使用凸包算法来确定区域（这对于我的用例来说已经足够接近了）。

所以我的问题是，我如何找到这些端点？我的第一个直觉是使用 Dijkstra 的算法，一旦我“消耗”了一定的“预算”时间，就停止，从每个路段的预算中减去；但是当算法应该回溯但已使用其预算时，我会卡住。这个问题有已知的名称吗？

【问题讨论】：

您正在查看maximum flow problem。你想要它的名字还是粗略的分析？
查看en.wikipedia.org/wiki/Maximum_coverage_problem 和相关问题stackoverflow.com/questions/3859891/…。
@Makoto 是吗？根据我对最大流量的理解，它仅用于找到从给定源到给定目的地的一条路径，具有最大的“吞吐量”？
@user1929959 我不确定这与我的问题有什么关系——我不关心访问尽可能多的链接，我只想要与一个给定点的最大距离。但我可能只是没有看到联系。

标签： algorithm graph graph-algorithm

【解决方案1】：

如果我正确理解了这个问题，那么您最初的猜测是正确的。 Dijkstra 算法，或任何其他找到从顶点到所有其他顶点（如 A*）的最短路径的算法都适合。

在最简单的情况下，您可以构建图表，其中边的权重代表通过该路段所需的最短时间。如果你有它的长度和最大允许速度，我想你知道它。从起点运行算法，选择最短路径小于x的顶点。就这么简单。

如果您想优化事物，请注意在 Dijkstra 算法的工作过程中，当前已知的到顶点的最短路径会随着每次迭代而单调增加。当您处理具有非负权重的图形时，这是一种预期。现在，在每一步中，您都在选择一个当前最短路径最小的未使用顶点。如果此路径大于x，您可能会停止。从现在开始，您不可能有任何最短路径小于x 的顶点。

如果您需要准确确定顶点之间的点，即车辆在给定时间内可以到达的点，这只是上述算法的一个小扩展。下一步，考虑所有(u, v) 边，其中u 可以及时到达x，而v 不能。 IE。如果我们将到顶点w 的最短路径定义为t(w)，我们就有t(u) <= x 和t(v) > x。现在使用一些基本数学在u 和v 之间用系数(x - t(u)) / (t(v) - t(u)) 插入点。

【讨论】：

谢谢，这个答案（结合@div's）让我走上了正确的道路。当我将问题重新表述如下时，我没有意识到的事情变得很明显：'从给定的起始顶点 v1 找到所有至多预算 x 的点。我会让 Dijkstra 在整个图表上运行，而不是在到达给定的端节点时停止，而是在超出预算时停止。那时我的图中所有访问的顶点的预算都低于 x，然后我的凸包算法会剔除边界内的所有点。（续...）
这样，它甚至可以覆盖一些病态的情况，即路线后面的顶点距离起始节点更近（例如，carthesian 距离更近）（因为道路转弯绕过障碍物）或湖），这会使我的“覆盖区域”比要求的要小。这当然正是你所说的，但直到我按照上面写的方式对自己说这句话时，它才被我点击：)

【解决方案2】：

使用从起始节点开始的广度优先搜索似乎是解决 O(V+E) 时间复杂度问题的好方法。好吧，这就是 Dijkstra 所做的，但它会在找到最小路径后停止。但是，在您的情况下，您必须继续为您的一组路线收集路线，直到无法延长路线，使其重量小于或等于最大总重量。

而且我认为 Dijkstra 的算法没有任何回溯。

【讨论】：

谢谢。你说得对，我对回溯的评论是因为我对我们已经使用的 Dijkstra 的修改版本有误解，很抱歉造成混乱。