Numpy 特征向量计算不正确答案

【问题标题】：Numpy eigenvector incorrect computationNumpy 特征向量计算不正确
【发布时间】：2014-02-12 22:20:26
【问题描述】：

我正在使用 numpy 来获取矩阵的特征值/特征向量。我的矩阵是对称且正的。

> mat

  matrix([[ 1.,  1.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.],
          [ 1.,  2.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.],
          [ 0.,  0.,  1.,  0.,  0.,  0.,  0.],
          [ 0.,  0.,  0.,  2.,  1.,  1.,  0.],
          [ 0.,  0.,  0.,  1.,  2.,  1.,  0.],
          [ 0.,  0.,  0.,  1.,  1.,  1.,  0.],
          [ 0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  1.]])

我使用np.eigh，因为我的矩阵是对称的。

> import numpy.linalg as la
> la.eigh(mat)

  (array([ 0.27,  0.38,  1.  ,  1.  ,  1.  ,  2.62,  3.73]),
   matrix([[ 0.  , -0.85, -0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.53,  0.  ],
          [ 0.  ,  0.53, -0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.85,  0.  ],
          [ 0.  ,  0.  , -0.  ,  1.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ],
          [-0.33, -0.  , -0.71, -0.  , -0.  , -0.  , -0.63],
          [-0.33, -0.  ,  0.71, -0.  , -0.  , -0.  , -0.63],
          [ 0.89, -0.  , -0.  , -0.  , -0.  , -0.  , -0.46],
          [-0.  , -0.  , -0.  , -0.  ,  1.  , -0.  , -0.  ]]))

我的问题是其中许多值的符号错误。特别是，主特征向量（矩阵中最右边的列）在应该为正时都是负的。我已经对照 matlab 和 octave 对此进行了检查。这只是一个精度错误，还是我遗漏了什么？

如果是错误，有什么方法可以检查并纠正这种错误吗？

编辑：这个计算是Hubs and Authorities 的一部分，上面的矩阵是 A*A^T。这是the original paper (see p.9, p.10) 的结果，集线器分数收敛到 A*A^T 的主特征向量。最终，我们希望将这些中心分数相互比较，因此该标志实际上很重要。

在第 10 页，论文还说，“另外（作为推论），如果 M 只有非负项，则 M 的主特征向量只有非负项。”这就是我问这个问题的原因。

【问题讨论】：

结果正确。特征向量的符号没有定义，是任意的。
这些参考资料都没有与未定义特征向量的符号这一事实相矛盾。如果您的问题需要，您当然可以修复阶段约定，但通常不会这样做（因为问题各不相同）。

标签： python numpy eigenvalue

【解决方案1】：

特征向量的符号是任意的。据我所知，在这方面没有正确或错误的答案。

【讨论】：

谢谢，迈克。我实际上关心特征向量的符号 - 我编辑了我原来的问题。
看来作者草率了。他应该说过，“另外（作为推论），如果M只有非负条目，那么存在一个 M的主特征向量，它只有非负条目。” （或更清晰的措辞），这就是 Perron-Frobenius 定理实际所说的。
要获得您需要的标志，请随意翻转整个矢量上的标志。
是的，我也在研究 Perron-Frobenius 定理。很明显，论文中描述的迭代方法只给出了非负结果，但一般情况下并非如此。我现在的问题是，我能确定主特征向量的所有元素都具有相同的符号吗？不过，这比 numpy 更数学。
类似eigvals, eigvecs = la.eigh(mat)principal = eigvecs[:, eigvals.argmax()]if (principal >= 0).all() or (pricipal <= 0).all(): print 'all the same'？（未运行/测试/等。此外，可能会遇到 -0.000000000218 应计为 0 的数字问题）。首先发短信mat 可能更容易。）

【解决方案2】：

如果您利用MM == QQ*DD*QQ.T，您可以轻松检查对称矩阵MM 的特征分解是否正确，其中DD=diag([lam_1, lam2_,...]) 是对角线上的特征值矩阵，QQ 是特征向量矩阵：

lam,QQ = la.eigh(MM)

# Check result:
DD = np.diag(lam)
MM2 = np.dot(np.dot(QQ, DD), QQ.T)
print(MM-MM2)  # should be zero

在您的情况下正确为 14 位。

请注意，特征向量可以乘以任何常数，因为特征值的定义方程 MM*x == lambda*x MM*(c*x) == lambda *(c*x) 与 c 是任何非零常数。 c 取决于数字 - Numpy 只是将向量标准化为 1。

【讨论】：