matlab&python中同一个厄米特矩阵的不同特征向量

Question

我正在尝试计算 3x3 厄米特矩阵（名为 coh）的特征值和特征向量。这是我正在使用的matlab代码，

coh = [0.327064707875252 + 0.00000000000000i    -0.00770057737827301 + 0.0178948268294334i  -0.00368526462214552 - 0.00615056270163515i
-0.00770057737827302 - 0.0178948268294334i  0.0122797042131420 + 0.00000000000000i  -0.000822583499745789 + 0.000295265015599135i
-0.00368526462214553 + 0.00615056270163516i -0.000822583499745789 - 0.000295265015599135i   0.00526291178539395 + 0.00000000000000i];

[V,D]=eig(coh);

V =

   0.9979 + 0.0000i   0.0229 - 0.0580i   0.0141 + 0.0140i
  -0.0243 - 0.0565i   0.9937 + 0.0000i   0.0936 + 0.0093i
  -0.0114 + 0.0192i  -0.0929 + 0.0104i   0.9954 + 0.0000i

% It should be real valued eigenvalue??
D =

   0.3284 - 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i   0.0111 - 0.0000i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   0.0050 + 0.0000i

我在文档中使用 matlab 中的 eig() 函数，它说“当 A 是实数且对称或复 Hermitian 时，满足 Av = λv 的 e 的值是实数。”

为了与 python 比较结果，我使用了 np.linalg.eigh()。

import numpy as np
import scipy

coh = np.array([[ 0.32706471+0.j, -0.00770058+0.01789483j,-0.00368526-0.00615056j],
       [-0.00770058-0.01789483j,  0.0122797 +0.j,-0.00082258+0.00029527j],
       [-0.00368526+0.00615056j, -0.00082258-0.00029527j,0.00526291+0.j]])

eigenh = np.linalg.eigh(coh)

特征值和特征值的结果 python中的向量是，

%eigenvalue
0.00504925
0.0111318
0.328426

%eigenvector
 (-0.01992713254631731+0.0j)     (0.0623407637085597+0.0j)   (-0.9978559708538679-0.0j)
 (-0.07298515890572027+0.05929161455059334j)     (0.3655270698873978+0.9239915820830416j)    (0.02429370804648004+0.05654205684315627j)
 (-0.706622215529945+0.7010318287578136j)    (-0.043891589739820214-0.08256315733761976j)    (0.011369094995309527-0.01915767907577206j)

matlab "eig()" 和 python "np.linalg.eigh()" 之间存在显着差异。我认为这不是标准化问题。因为，当我对对称矩阵（不是厄米特 - 实值）使用相同的函数时，结果完全相同。

补充说明

当我检查 coh 矩阵（上面给出的原始输入）是否为厄米特矩阵时，matlab 返回逻辑 0。

ishermitian(coh)
ans =
  logical
   0

但是，当我将输入矩阵四舍五入 16 时，matlab 返回逻辑 1。 *从 16 取更高的舍入值返回逻辑 0。

coh2 = round(coh,16)
ishermitian(coh2)
ans =
  logical
   1

即使我得到带有舍入输入矩阵的实值特征值，特征向量仍然与 python 不同

[V2,D2]=eig(coh2);
V2 =
   0.0141 + 0.0140i   0.0293 - 0.0550i   0.5093 + 0.8581i
   0.0936 + 0.0093i   0.9874 + 0.1110i   0.0362 - 0.0497i
   0.9954 + 0.0000i  -0.0935 + 0.0000i  -0.0223 + 0.0000i

D2 =
    0.0050         0         0
         0    0.0111         0
         0         0    0.3284

Answer 1

如果你写imag(D)，你会看到特征值的虚部是1e-18的数量级。这是在 0 的舍入误差内（与特征值的大小相比）。但是因为 MATLAB 不知道特征值应该是实值，所以它会将它们作为复数提供给您。

如果您知道特征值应该是实值，只需取其实部即可：

D = real(D);

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关于已编辑的问题：

矩阵coh 几乎是 Hermitian，但不完全是。例如，您可以通过以下方式进行检查：

max(abs(reshape((coh - coh')./coh, 1, [])))

这将返回 1.9e-15。这比eps 大一个数量级，这就是MATLAB 不认为它是Hermitian 的原因。

在 Python 代码中输入的矩阵略有不同。如果我将这些值复制到 MATLAB，我会看到：

coh2 = [0.32706471+0.0j, -0.00770058+0.01789483j, -0.00368526-0.00615056j
       -0.00770058-0.01789483j,  0.0122797+0.0j, -0.00082258+0.00029527j
       -0.00368526+0.00615056j, -0.00082258-0.00029527j, 0.00526291+0.0j];
max(abs(reshape((coh2 - coh2')./coh2, 1, [])))

此代码返回 0。ishermitian(coh2) 也返回 true。

最后比较coh和coh2的特征值，我们发现差异在1e-8数量级：

flip(real(eig(coh))) - eig(coh2) % `flip` fixes the ordering difference
ans =
   1.0e-08 *
   0.085548579158157
   0.539922194800480
  -0.238091968363108