我想在 Mathematica 中计算 2x2 矩阵的特征值，其中矩阵元素是函数

Question

我对 Mathematica 还很陌生。我想计算 2x2 矩阵的特征值，其中矩阵元素是 2 个变量的函数。我正在使用的代码如下：

\[Phi] = Pi/4, t1 = 1, t2 = 1/3, U;
f1[k1_, k2_] := Cos[\[Phi] + Sqrt[3] * k2] + Cos[\[Phi] - 3 k1/2 - Sqrt[3] k2/2] + Cos[\[Phi] + 3 k1/2 - Sqrt[3] k2/2], f1[k1_, k2_] := Cos[\[Phi] - Sqrt[3] * k2] + Cos[\[Phi] + 3 k1/2 + Sqrt[3] k2/2] + Cos[\[Phi] - 3 k1/2 + Sqrt[3] k2/2];
g[k1_, k2_] := Exp[-\[ImaginaryJ] k1] + 2 Cos[Sqrt[3]* k2/2] Exp[-\[ImaginaryJ]  k1/2];
mat[k1_, k2_] = {{U - 2 *t2 * f1, t1*g}, {t1*Conjugate[g],  2 *t2 * f2 - U}};
Eigenvalues[mat]

从代码中可以看出，我有三个函数 f1、f2 和 g，它们有两个参数 k1 和 k2，并给出了它们的形式。我需要对角化的矩阵是 mat。我需要以分析形式获得特征值，然后在 k1 和 k2 上绘制它们。但是在这段代码 sn-p 之后，当我尝试运行它时，我什么也没有得到，即没有任何输出。我该如何解决这个问题？

Answer 1

f1[k1_, k2_] := Cos[ϕ + Sqrt[3]*k2] + Cos[ϕ - 3 k1/2 - Sqrt[3] k2/2] +
   Cos[ϕ + 3 k1/2 - Sqrt[3] k2/2]

f1[k1_, k2_] := Cos[ϕ - Sqrt[3]*k2] + Cos[ϕ + 3 k1/2 + Sqrt[3] k2/2] +
   Cos[ϕ - 3 k1/2 + Sqrt[3] k2/2]

g[k1_, k2_] := Exp[-\[ImaginaryJ] k1] +
   2 Cos[Sqrt[3]*k2/2] Exp[-\[ImaginaryJ] k1/2];

mat[k1_, k2_] := {{U - 2*t2*f1, t1*g}, {t1*Conjugate[g], 2*t2*f2 - U}}

form = Eigenvalues[{{a, b}, {c, d}}]

{1/2 (a + d - Sqrt[a^2 + 4 b c - 2 a d + d^2]), 1/2 (a + d + Sqrt[a^2 + 4 b c - 2 a d + d^2])}

ϕ = Pi/4;
t1 = 1;
t2 = 1/3;

{{a, b}, {c, d}} = mat[k1, k2]

{{-((2 f1)/3) + U, g}, {共轭[g], (2 f2)/3 - U}}

FullSimplify[form]

{1/3 (-f1 + f2 - Sqrt[(f1 + f2 - 3 U)^2 + 9 g 共轭[g]]), 1/3 (-f1 + f2 + Sqrt[(f1 + f2 - 3 U)^2 + 9 g 共轭[g]])}

Answer 2

仔细比较这个，一个字一个字，你有什么

ϕ=Pi/4;t1=1;t2=1/3;
f1[k1_,k2_]:=Cos[ϕ+Sqrt[3]*k2]+Cos[ϕ-3 k1/2-Sqrt[3] k2/2]+Cos[ϕ+3 k1/2-Sqrt[3] k2/2];
f2[k1_,k2_]:=Cos[ϕ-Sqrt[3]*k2]+Cos[ϕ+3 k1/2+Sqrt[3] k2/2]+Cos[ϕ-3 k1/2+Sqrt[3] k2/2];
g[k1_,k2_]:=Exp[-\[ImaginaryJ] k1]+2 Cos[Sqrt[3]*k2/2] Exp[-\[ImaginaryJ] k1/2];
mat[k1_,k2_]:={{U-2*t2*f1[k1,k2],t1*g[k1,k2]},{t1*Conjugate[g[k1,k2]],2*t2*f2[k1,k2]-U}};
Eigenvalues[mat[k1,k2]]

然后非常仔细地检查输出以尝试验证它是否正确。