Numpy - 模态矩阵和对角线特征值答案

【问题标题】：Numpy - Modal matrix and diagonal EigenvaluesNumpy - 模态矩阵和对角线特征值
【发布时间】：2016-04-03 21:01:05
【问题描述】：

我在 Python Numpy 中编写了一个简单的线性代数代码，通过计算 $M^{-1}.A.M$（M 是模态矩阵）来计算特征值的对角线，它的工作很奇怪。

这是代码：

import numpy as np

array = np.arange(16)
array = array.reshape(4, -1)
print(array)

[[ 0  1  2  3]
 [ 4  5  6  7]
 [ 8  9 10 11]
 [12 13 14 15]]

eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(array)

print eigenvalues
[  3.24642492e+01  -2.46424920e+00   1.92979794e-15  -4.09576009e-16]

print eigenvectors
[[-0.11417645 -0.7327781   0.54500164  0.00135151]
 [-0.3300046  -0.28974835 -0.68602671  0.40644504]
 [-0.54583275  0.15328139 -0.2629515  -0.8169446 ]
 [-0.76166089  0.59631113  0.40397657  0.40914805]]

inverseEigenVectors = np.linalg.inv(eigenvectors) #M^(-1)
diagonal= inverseEigenVectors.dot(array).dot(eigenvectors) #M^(-1).A.M

print(diagonal)
[[  3.24642492e+01  -1.06581410e-14   5.32907052e-15   0.00000000e+00]
 [  7.54951657e-15  -2.46424920e+00  -1.72084569e-15  -2.22044605e-16]
 [ -2.80737213e-15   1.46768503e-15   2.33547852e-16   7.25592561e-16]
 [ -6.22319863e-15  -9.69656080e-16  -1.38050658e-30   1.97215226e-31]]

最终的“对角线”矩阵应该是一个对角线矩阵，其特征值在主对角线上，其他位置为零。但它不是...第一个主对角线值是特征值，但第二个不是（尽管就像两个第二个特征值一样，它们几乎为零）。

顺便说一句，像 $-1.06581410e-14$ 这样的数字实际上是零，那么我怎样才能让 numpy 将它们显示为零？

我做错了什么？

谢谢...

【问题讨论】：

提示：第 3 行 = 2*第 2 行 - 第 1 行
呃哦......那么......矩阵的行列式为零？和 det(A) = 特征值的乘积......并且特征值应该为零？如果我到这里为止都做对了，那么为什么 numpy 计算 EigenValues 而没有给出 0 作为答案？
一切正常。在浮点字中考虑任何
我可以告诉 numpy 将非常小的值转换为 null 或零吗？有时，如果您不小心，那些非常小的值的长度会欺骗您，并且您认为它们不是零……我希望我的最终矩阵是上下为零的对角线……并且具有 0因为行列式确实比'-7.09974814699e-30'之类的东西更有用！
这很正常 - 从某种意义上说，零特征值“告诉你矩阵是奇异的”。迭代地找到特征值，如果非对角线条目足够小，则停止迭代。您可能对对角线上的内容感兴趣，但对算法不感兴趣。

标签： python numpy linear-algebra eigenvalue eigenvector

【解决方案1】：

只需将最终结果四舍五入到所需的数字：

print(diagonal.round(5))

array([[ 32.46425,   0.     ,   0.     ,   0.     ],
       [  0.     ,  -2.46425,   0.     ,   0.     ],
       [  0.     ,   0.     ,   0.     ,   0.     ],
       [  0.     ,   0.     ,   0.     ,   0.     ]])

不要混淆计算精度和打印策略。

【讨论】：

【解决方案2】：

>>> diagonal[np.abs(diagonal)<0.0000000001]=0
>>> print diagonal
[[ 32.4642492   0.          0.          0.       ]
 [  0.         -2.4642492   0.          0.       ]
 [  0.          0.          0.          0.       ]
 [  0.          0.          0.          0.       ]]
>>>

【讨论】：

你很善良！ B.M. 的答案有其自身的好处（+1 到 B.M.）