Julia 中的特征分解和“组合”

Question

我在 Julia 中经历了一些 tutorial on factorization。为了练习，我尝试从矩阵中提取特征分解并重新创建原始矩阵，使用公式：

A = VλV⁻¹

其中 V 是特征向量矩阵，λ 是特征值对角矩阵，V⁻¹ 是倒矩阵 V。

让我感到困惑的是，特征值是作为向量返回的，而我发现的 guides 表明它应该作为对角矩阵返回。

代码示例：

using LinearAlgebra

# Create matrix
A = rand(3, 3)

# Eigendecomposition
AEig = eigen(A)

λ = AEig.values
 3-element Vector{Float64}:
 
V = AEig.vectors
 3×3 Matrix{Float64}:
  
Acomp = V*λ*inv(V)

A ≈ Acomp

尝试将向量和矩阵相乘会返回错误：

DimensionMismatch("A has dimensions (3,1) but B has dimensions (3,3)")

这是因为将 V 与 λ 相乘返回一个 3 元素向量，然后尝试将其与 V⁻¹ 相乘，这是一个 3×3 矩阵。我的问题是，有没有一种直接的方法可以从向量创建对角矩阵？或者，是否可以通过另一种方式实现对原始矩阵的“重组”？

Answer 1

您可以使用LinearAlgebra 中的单位矩阵，显示为I，如下所示：

julia> λ                                                                                                                
3-element Vector{Float64}:                                                                                               
-0.4445656542213612                                                                                                      
0.5573883013610712                                                                                                      
1.310095519651262

julia> λ .* I(3)                                                                                                        
3×3 Matrix{Float64}:                                                                                                     
-0.444566  -0.0       -0.0                                                                                               
0.0        0.557388   0.0                                                                                               
0.0        0.0        1.3101 

.* 表示向量的每个元素都与矩阵的相应行相乘。

[编辑：] 在使用Diagonal() 函数发布问题后，我发现了另一种创建对角矩阵的方法。虽然上述解决方案有效，但这创建了一些更简单的语法：

julia> Diagonal(λ)
3×3 Diagonal{Float64, Vector{Float64}}:
 -0.444566   ⋅         ⋅ 
   ⋅        0.557388   ⋅ 
   ⋅         ⋅        1.3101