给定许多水平和垂直线，如何找到其中包含任何子矩形的所有矩形？

Question

我有许多水平和垂直线组成矩形，例如本例。

是否有一种算法或代码可以定位每个不包含另一个矩形的矩形。我的意思是，这张图片中最大的矩形不是我要找的矩形，因为它里面包含其他矩形。

我要查找的矩形必须是空的。我有每条线的起点和终点的列表，例如（a，b）到（c，d）。因此，我想要一个矩形列表 (x,y,w,h) 或等效项。

请注意，有些线与它们成直角相交，例如，此图像中最宽矩形的顶线是一条线，它有一条向下相交的垂直线。

Answer 1

这类问题在很大程度上由一些标准的Computational Geometry 算法来回答。对于这个特殊问题，我可以想到一个vertical sweep line 算法。

假设一个矩形由一对点(p1, p2) 表示，其中p1 是左上角，p2 是右下角。并且一个点有两个属性（可以访问为p.x和p.y）。

这是算法。

1. 对所有点对进行排序 - O(n log n)
2. 初始化一个名为sweep line status 的列表。这将保存到目前为止遇到的所有矩形，即alive。还要初始化另一个名为event queue 的列表，其中包含即将发生的事件。这个event queue 当前包含所有矩形的起点。
3. 处理事件，从event queue 中的第一个元素开始。
   • 如果事件是start point，则将该矩形添加到sweep line status（按y坐标排序）（在O(log n)时间）并将其右下角添加到event queue的适当的位置（按点排序）（再次在O(log n)时间）。当您将其添加到sweep line status 时，您只需要检查该点是否位于sweep line status 中它正上方的活动矩形中。如果它确实位于内部，则这不是您的矩形，否则，请将其添加到所需矩形列表中。
   • 如果事件是结束点，只需从sweep line status中删除对应的矩形即可。

运行时间（对于 n 个矩形）：

• 排序需要O(n log n)。
• 事件数 = 2*n = O(n)
• 每个事件都需要 O(log n) 时间（对于 event queue 和 sweep line status 中的插入。所以总数是 O(n log n)。

因此，O(n log n)。

更多详情请参考Bentley–Ottmann algorithm。以上只是对此的简单修改。

编辑：

刚刚意识到输入是线段，但由于它们总是形成矩形（根据问题），预处理的线性遍历可以将它们转换为矩形（点对）形式。

Answer 2

我认为不同的表示将帮助您解决问题。例如，考虑大矩形（末端没有块）。有四个唯一的 x 和 y 坐标，对它们进行排序和索引。从图形上看，它看起来像这样：

如果坐标(x_i, y_j)上有一个矩形的角，把它放在一个矩阵中，如下所示：

__|_1__2__3__4_
1 | x  x  0  x
2 | x  x  0  0
3 | 0  x  x  x
4 | x  x  x  x

现在根据定义，真实空间中的矩形是矩阵坐标上的矩形。例如，(3,2) (3,4) (4,4), (4,3) 处有一个矩形，但它不是“基础”矩形，因为它包含一个子矩形 (3,3) (3,4), (4,4), (4,3)。这里很容易看到递归算法，为了提高速度，请使用记忆化来防止重复计算。

Answer 3

A sweep-line algorithm...

所需结构：

• V = 一组垂直线，按 x 坐标排序。

• H = 一组水平线的所有起点和终点（并让每个点保持对线的引用）并按 x 坐标排序。

• CH = 当前条水平线的一组（最初为空）排序（按 y 坐标）。

• CR = 当前 个矩形的排序（按 y 坐标）集合。这些矩形将具有左、上和下坐标，但还没有右坐标。请注意，此集合中不会有重叠。

算法：

从左到右同时处理V和H。

每当遇到水平线的起点时，将该线添加到 CH。

每当遇到水平线的末端时，将其从 CH 中删除。

每当遇到垂直线时：

• 从 CR 中删除与线重叠的所有矩形。对于所有移除的矩形，如果它完全包含在行内，将其大小与迄今为止最好的矩形进行比较，如果更好则存储。

• 在行的底部和顶部之间迭代处理CH中的每个元素，如下所示：

  • 在 CR 中添加一个矩形，最后处理的点为底部，当前点为顶部，垂直线的 y 坐标为左侧。

完成。

注意：

当水平起点或终点或垂直线的 x 坐标相等时，必须保持以下顺序：

x of horizontal start < x of vertical line < x of horizontal finish

否则你会错过矩形。

Answer 4

您的所有线都平行于 x 轴或 y 轴吗？或者，你所有的线都是平行的还是垂直的？

从您给出的示例中，我假设您的所有线都平行于 x 或 y 轴。在这种情况下，您的行将是 [(a,b), (a,d)] 或 [(a,b), (c,b)]。

无论如何，首要任务是找到角落。这是两条垂直线相交的点的集合。

第二个任务是检测矩形。对于每一对角，您可以检查它们是否形成矩形。

第三个任务是查找一个矩形内部是否有任何矩形。

对于第一个任务，您需要将线条分成两组：垂直和水平。在那之后排序一组。前任。根据 x 轴坐标对垂直线进行排序。然后你可以把所有的水平线，做一个二分查找，找到所有的相交点。

对于第二个任务，考虑每一对角并查看其他两个角是否存在。如果是，则查看是否有连接所有这四个角的线。如果是，你有一个矩形。

对于第三个任务，将所有矩形放在一个区间树中。之后你可以检查两个矩形是否重叠。