概率最大化期望

Question

给定 3n 个人，第 i 个人可以通过概率 p_i 的测试，现在你需要将他们分成 n 组，每组有 3 个人。如果至少有两个人通过测试，则一组得分为 1，否则为 0。为了使总分期望值最大化，如何分组？

我已经考虑过这个问题了，直觉上我认为将两个大的 p_i 和一个小的 p_i 组合在一起是有意义的。另外，我考虑过在最佳安排中，交换来自不同组的任何两个 p_i 应该会降低期望。当交换两个学生时，我可以在数学上写出期望的差异，但似乎没有给出任何明显的结果。我碰壁了。

Answer 1

有趣的问题。我觉得很难，因为 3 往往是 NP 硬度的魔数，而且我看不到任何凸结构。

我可以建议以下大社区本地搜索策略。如果我们只是试图将配对与单打配对以形成三人一组，那么最佳策略是根据他们恰好通过一次的可能性对配对进行排序，根据他们通过的可能性对单打排序，然后匹配他们相应地。要进行局部搜索，首先形成初始组，然后将每个组重复地随机均匀地分成一对和一个，然后如上所述进行最优重新匹配。

一些非常粗糙的 Python：

import random


def quality(groups):
    return sum(a * b + a * c + b * c - 2 * a * b * c for [a, b, c] in groups)


def main():
    n = 10
    groups = [[random.random() for j in range(3)] for i in range(n)]
    print(groups)
    print(quality(groups))
    for k in range(1000):
        choices = [random.randrange(3) for i in range(n)]
        pairs = [[group[j - 1], group[j - 2]] for (group, j) in zip(groups, choices)]
        pairs.sort(key=lambda pair: pair[0] + pair[1] - 2 * pair[0] * pair[1])
        singles = [group[j] for (group, j) in zip(groups, choices)]
        singles.sort()
        groups = [pair + [single] for (pair, single) in zip(pairs, singles)]
        print(quality(groups))
    print(groups)


main()