如何最大化总概率？

Question

我想最大化在随机选择游戏中获胜的总概率，如下所示，

我有n张彩票，其中只有1张是幸运票，现在我有2个选项，要么抽一张，要么让主人从总票中删除一些X个不幸的票，X必须是的倍数k（可用）和 X 必须小于票的总数。

如果我抽到一个倒霉的票，主人会在一堆票中添加k张倒霉的票。

我们最多可以玩 m 个动作，每个动作都是以下之一

1. 我们要么开票
2. 我们要么要求 master 移除 X 个票证（X 是 k 的倍数）

我想最大化概率。

并将总概率 P/Q 输出为 P*Q^(-1)，其中 Q 是 Q 的模逆。

观察和玩游戏后，我认为只有按照以下方式玩游戏时，总概率才会最大

1. 第一步，我们开一张票，中奖概率为 1/n。

2. 如果我们在第一步中抽到一张不幸的票，则添加 k 票，我们可以要求大师在第二步中删除 k 票。

3. 在第三步中，我们再次抽奖，现在中奖的概率是
   ((n-1)/n)*(1/n) .

类似地，如果有 m 个动作，我们可以得出结论，获胜的总概率为 (1-((n-1)/n)^r)，其中我们可以找到 r 的值

n

例如： n = 3 k = 20 m = 3

总概率为 1-(2/3)^2 = 5/9

n = 5 k = 7 m = 1

总中奖概率=1/5

最终输出：

5*(9)^(-1) % 1000000007 = 555555560

1*(5)^(-1) % 1000000007 = 400000003

如果这个游戏中有其他获胜策略，请提供证据，我也没有我的策略的证据，所以如果你能证明我的策略，我会很高兴拥有它以及伪代码会有所帮助我继续。

我们再次将我们选择的票再次放入桩中，因此在抽错后我们有n+k而不是n+k-1，并且还有n

编辑：我的策略证明

我们采取的每一步都有两种可能性

要么获得 1/n*(n-1)/n，要么获得 (n-1)/n*(1/n+k) + (n-1/n)( (n+k-1)/n+k)(1/n+2*k)

现在求解两边后，我们得到方程 1/n 左侧和右侧是 (2*n+3*k-1)/((n+2*k)*(n+k) 和我发现 RHS 总是小于或等于 RHS

所以在进一步求解后，我得到 L.H.S 为 2*(k^2) 和 R.H.S 为 n^2-n 并且给定 n

因此证明。

请为证明提供反馈。

Answer 1

你的策略不正确。在抽到一张倒霉的票后，你会要求主人移除 k 票，但如果你开始在完全相同的状态下玩，你就会选择一张票。这没有任何意义，因为游戏不记得你以前的动作，因此目前的情况应该总是决定最好的选择。

设 P(n,m,k) 是用 n 票、最多 m 个动作和 获胜的概率k，具有最优策略。

如果你选一张票，那么概率是1/n + P(n+k-1, m-1, k)*(n-1)/n。

如果你不这样做，那么概率是 P(n-k, m-1, k)

最佳选择是概率最大的选择，因此：

P(n,m,k) = max( 1/n + P(n+k-1, m-1, k)*(n-1)/n , P(nk, m- 1, k))

您可以使用记忆化递归计算，因为可能存在重叠的子问题，即使用动态规划。