比较幂律与其他分布

Question

我正在使用 Jeff Alstott 的 Python 幂律包来尝试将我的数据拟合到幂律。 Jeff 的软件包基于 Clauset 等人的论文，该论文讨论了幂律。

首先，关于我的数据的一些细节：

1. 是离散的（字数数据）；
2. 向左严重偏斜（高偏斜）
3. 它是 Leptokurtic（超峰度大于 10）

到目前为止我做了什么

df_data 是我的 Dataframe，其中 word_count 是一个包含大约 1000 个单词标记的单词计数数据的系列。

首先我生成了一个 fit 对象：

fit = powerlaw.Fit(data=df_data.word_count, discrete=True)

接下来，我将我的数据的幂律分布与其他分布进行比较 - 即 lognormal、exponential、lognormal_positive、stretched_exponential 和 truncated_powerlaw，使用 fit.distribution_compare(distribution_one, distribution_two) 方法。

作为 distribution_compare 方法的结果，我为每个比较获得了以下 (r,p) 元组：

• fit.distribution_compare('power_law', 'lognormal') = (0.35617607052907196, 0.5346696007)
• fit.distribution_compare('power_law', 'exponential') = (397.3832646921206, 5.3999952097178692e-06)
• fit.distribution_compare('power_law', 'lognormal_positive') = (27.82736434863289, 4.2257378698322223e-07)
• fit.distribution_compare('power_law', 'stretched_exponential') = (1.37624682020371, 0.2974292837452046)
• fit.distribution_compare('power_law', 'truncated_power_law') =(-0.0038373682383605, 0.83159372694621)

来自幂律文档：

R : 浮动

两组似然的对数似然比。如果是阳性， 第一组可能性更有可能（因此概率 产生它们的分布更适合数据）。如果 负数，反之亦然。

p : 浮动

R符号的意义。如果低于临界值 （通常为 0.05）R 的符号被认为是显着的。如果高于 临界值 R 的符号被认为是由于统计 波动。

从幂律分布、指数分布和对数正态分布的对比结果来看，我倾向于说我有幂律分布。

这是对测试结果的正确解释/假设吗？还是我遗漏了什么？

Answer 1

首先，虽然这些方法可能是由我、Cosma Shalizi 和 Mark Newman 开发的，但我们的实现是在 Matlab 和 R 中实现的。我认为您正在使用的 Python 实现可能来自 Jeff Alstott 或 Javier del Molino Matamala或者 Joel Ornstein (all of these are available off my website)。

现在，关于结果。似然比检验 (LRT) 不允许您得出结论是否存在幂律分布。它只是一个模型比较工具，这意味着它评估幂律是否比其他替代方法更适合您的数据。 （我这样说是因为 LRT 不是一种拟合优度方法。）因此，即使幂律分布优于所有备选方案，也并不意味着您的数据 是幂律分布的。这只意味着幂律模型是一种比其他方法更糟糕的数据统计模型。

要评估幂律分布本身是否是统计上合理的模型，您应该使用半参数引导程序 we describe in our paper 计算拟合幂律模型的 p 值。如果p>0.1、和幂律模型比 LRT 的替代方案更受青睐，那么您可以得出结论，在幂律分布之后，您的数据得到了相对较强的支持.

回到您的具体结果：您的每个 LRT 比较都会产生一对 (r,p)，其中 r 是标准化的对数似然比，p 是该比率的统计显着性。这里正在测试 p-value 的东西是 r 的 sign 是否有意义。如果 LRT 的 p，则正号表示幂律模型受到青睐。查看您的结果，我发现指数和 lognormal_positive 替代方案比幂律模型更适合数据。但是，lognormal、stretched_exponential 和 truncated_power_law 不是，这意味着这些替代方案与您的幂律模型一样非常适合数据。

没有来自幂律模型本身假设检验的 p 值，LRT 结果无法完全解释。但即使是部分解释也与幂律模式的强有力证据不一致，因为两个非幂律模型与这些数据的幂律一样好（坏）。考虑到您的数据的右偏度，指数模型确实比幂律更糟糕这一事实并不令人惊讶，因此没有什么可写的。