为什么傅里叶域中的零填充会导致复杂的逆变换？

Question

如果我从一个只有实数值的信号开始，执行 fft 和 ifft 会返回准确的信号，没有预期的复杂条目。但是，如果我用零填充 fft 以获得时域中的插值，则反 fft 总是结果是复数。我已经注意执行 fftshift() 然后在两侧填充，以免破坏对称性。以下是显示此行为的示例代码。我是不是看错了，还是零填充后的计算错误有点太多了？我该如何克服这个问题？

代码：

%%%%%%%%%

x=linspace(0,2*pi,200);

y = sin(x)+sin(2*x);

Y = fftshift(fft(y));

n=400;

x1 = linspace(0,2*pi,n);

Y1 = zeros(1,n);

Y1((n-200)/2+1:end-(n-200)/2) = Y;

y2 = ifft(fftshift(2*Y1));

plot(x,y);

hold on;

plot(x1,y2(1:end),'x-');

isreal(y)==isreal(y2)

%%

Answer 1

可能是一个错误，或者没有忽略微观舍入误差值。为了使 IFFT 的结果是严格实数（除了微小的数值噪声量），复数输入向量必须围绕元素 0 完全共轭对称（或者对于偶数 N，在 N/2 附近）。

Answer 2

您的代码有几个小问题：

1. 原始信号的样本数及其 FFT 应该是奇数。要了解原因，请注意 FFT 的第一个条目是零频率分量，它没有对称频率。 剩余的个频率应该是偶数，这样它们就可以分成两个对称的部分，并且可以在两个部分之间插入额外的零。

2. 不应使用linspace 创建时间轴。由于linspace 修复了两个 端点，因此您无法获得2 的精确比例因子。为此，您需要使用 : (colon) 手动创建轴。

3. 第二个fftshift 应该是ifftshift。这在这里并不重要，因为零填充 FFT 的大小是均匀的，所以 fftshift 和 ifftshift 重合。但作为一般规则，您应该使用ifftshift 撤消fftshift 的操作。

所以，代码变成：

x = (0:200)/201*2*pi;
y = sin(x)+sin(2*x);
Y = fftshift(fft(y));
x1 = (0:401)/402*2*pi;
Y1 = [zeros(1,101) Y zeros(1,100)];
y2 = ifft(ifftshift(2*Y1)); % or fftshift, since length is even
plot(x,y,'o-');
hold on;
plot(x1,y2,'.:');
isreal(y)==isreal(y2)
max(abs(y-y2(1:2:end))) % should be of the order of eps

现在我们可以检查了

• 两个信号都是真实的：

  >> isreal(y)==isreal(y2)
  ans =
    logical
     1
  

  更好的测试是检查y1 的虚部（由于数值精度问题可能不完全为零）是eps 的数量级。

• y1 的每个其他样本都与y 中的相应样本重合，最多为eps 数量级的数值错误：

  >> max(abs(y-y2(1:2:end)))
  ans =
       6.661338147750939e-16