图像的零填充傅里叶

Question

我正在尝试解决一个问题， 给定大小为 N,M 的图像 f(x,y)，傅立叶变换 F。 我们定义函数g，它的傅里叶变换G定义如下：

G(x,y)=F(x,y) 如果 x

这意味着我们用零填充图像。 我尝试使用带有此代码的 matlab 进行检查：

i1 = imread('1.bmp');
i1 = im2double(i1);
k=fft2(i1);
newmat = padarray(k,[84,84],0,'post');
mat2=ifft2(newmat);
imshow(mat2);

由于某种原因，我得到了一个复杂的矩阵，我无法真正说出有趣的事情， 我错过了什么？ （澄清一下，我尝试的图像尺寸为 84x84）。

谢谢！

Answer 1

你 填充必须添加高频，这不是你正在做的。对于一维 FFT，F、F(2) 和 F(end) 对应于相同的频率 — 在 2D 中，对于沿每个图像维度的每条图像线，这完全相同。通过扩展数组来填充零，您将创建一个新的F(end)。该值不再与F(2) 中的值匹配。为了使逆变换成为实值，这两个值应该是彼此的复共轭。

解决方案是在数组的中间添加填充，这里的频率最高。最简单的方法是首先使用fftshift 将零频率移动到阵列的中心，然后在阵列周围填充，然后移回：

k = fft2(i1);
k = fftshift(k);
k = padarray(k,[84,84]/2,'both');
k = ifftshift(k);
mat2 = ifft2(k);

通过这种方式，您可以保留实值图像的傅里叶变换所期望的共轭对称性。

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似乎 OP 对在傅里叶谱的不同部分填充零时会发生什么感到困惑。这是一个小实验：

% Create a test image, a simple Gaussian, purely real-valued
x = linspace(-3,3,84);
img = exp(-0.5*x.^2);
img = img.' * img;
imshow(img)

% OP's method
k = fft2(img);
k = padarray(k,[84,84],0,'post');
k = complex(k); % This line does nothing
out = ifft2(k) * 4;
subplot(1,2,1); imshow(real(out)); title('real part')
subplot(1,2,2); imshow(imag(out)); title('imaginary part')

% Correct method
k = fft2(img);
k = fftshift(k);
k = padarray(k,[84,84]/2,'both');
k = ifftshift(k);
out = ifft2(k) * 4;
subplot(1,2,1); imshow(real(out)); title('real part')
subplot(1,2,2); imshow(imag(out)); title('imaginary part')

如您所见，在填充“post”时，您会在傅立叶域中引入不对称性，从而转化为空间域中的非真实图像。相比之下，我在这个答案中指示的填充会导致保持共轭对称性，从而保持实值输出（虚部全为黑色）。

（对不起，图像周围的所有空白）