我有一个散点图，我允许通过像这样绘制一个椭圆来选择点：
在上图中，X 轴和 Y 轴的缩放比例不同。我正在尝试实现允许更改每个轴的比例的功能，但是我无法使用轴缩放椭圆形状。更改 X 轴的比例以匹配 Y 轴可以得到：
我知道我可以用 X 轴缩放椭圆的 cx 值以获得椭圆的新中心，但我不知道如何计算出新的 rx、ry 和旋转角度。所以我的问题是给定一个旋转椭圆，其值为 cx、cy、rx、ry 和 以弧度为单位的旋转，我如何计算给定比例值的椭圆的新值s 是 X 轴还是 Y 轴？为清楚起见，旋转是围绕椭圆的中心 (cx, cy) 进行的。
【问题讨论】：
标签： math svg geometry trigonometry
我想我理解你的问题。对于带有点(x,y) 的轴对齐椭圆，(a*x,b*y) 的形状仍然是一个椭圆，其中有一些任意缩放因子a 和b 作用于大半径和小半径。
但是对于一个旋转的椭圆，这是不正确的。除了大半径和小半径的缩放比例不同之外，旋转角度也可能不同。
所以数学上的问题是这样的：旋转椭圆的参数点是
θ 是旋转角度 r_1 和 r_2 原始椭圆半径。 t 参数从0 变为2π。
现在找到修改后的参数，使椭圆与上述的缩放版本相匹配
将以上两个组合成一个方程来求解 r_1' 和 r_2' 以及 θ' 的所有值t。
不幸的是，我没有想到任何解决方案，因为向量前面的RHS上的组合2×2矩阵需要通过找到合适的旋转θ'来对角化以带来它归结为这种形式
r_1' 和 r_2' 可以轻松解决。
但是旋转需要满足两个矛盾的方程
tan(θ') = (a/b)*tan(θ) and tan(θ') = (b/a)*tan(θ)
只有在两个比例因子相同的情况下才能解决 => a==b。
我建议将此问题作为数学问题发布到 [Mathematics.SE] 中，然后再尝试将其作为算法实现。也许你会有更好的运气。
【讨论】：
计算没那么容易。
以原点为中心的旋转椭圆方程为
(c x + s y)² / a² + (s x - c y)² / b² = 1 = A x² + 2B xy + C y²
(c,s分别表示旋转角的余弦和正弦。)展开后二次系数为
A = c² / a² + s² / b², 2B = 2 cs / a² - 2 sc / b², C = s² / a² + c² / b².
当你有系数时，你可以检索1/a²、1/b²、c、s 作为 2x2 矩阵的特征值和第一个特征向量
|A B|
|B C|
旋转角度由tan Θ = s / c给出。
现在让我们通过应用系数r 来拉伸横坐标，给出
A' = r² A, B' = r B, C' = C.
矩阵变为
|r²A rB|
|rB C|
再一次，您将通过计算特征值和第一个特征向量来找到角度的轴和余弦/正弦。
特征值是多项式的根
z² + (r²A + C) z + r²(AC - B²)
其中A、B、C 的计算如上，特征向量如下
(r²A - z) c + rB s = 0
你从中抽取s/c。
【讨论】：