射线和三角形边缘如何相交？

Question

我遇到了与三角形边缘相交的问题。实际上，我正在尝试使用鼠标选择/相交网格的三角形、顶点、边缘。所以我从鼠标当前位置制作了射线，然后我将它与三角形/多边形、顶点、边缘等网格元素相交以使用它。基本上，3D建模的东西。与三角形相交既简单又有趣。顶点部分很棘手。

但现在，我不知道如何与三角形边相交/拾取。我的意思是当与鼠标射线相交时我如何对待它们？首先，我认为可以将它们视为 3D 线。但最终未能做到 Ray 和 Line 相交。在互联网上搜索但没有找到任何有用的信息。虽然我发现一些开源项目正在使用 OpenGL 内置的拾取功能来拾取/与 Edge 相交。但就我而言，我不能使用它。 :(

我当前的边缘拾取代码结构如下所示：

void pickEdge(Ray ray, Scene scene)
{
    for each object in scene
    {
        mesh = getMesh(object)
        for each triangle in mesh
        {
            for each edge in triangle
            {
                v1 = getV1(edge)
                v2 = getV2(edge)

                // Do intersect with 'ray' and 'v1', 'v2'. But how?
            }
        }
    }
}

所以我被困在这里，真的需要一些帮助。非常感谢任何想法、算法或小帮助。

Answer 1

在您的情况下，在 3D 空间中查找三角形和射线之间的交点的问题可以归结为在 2D 空间（平面）中的三角形中查找点位置（INSIDE、OUTSIDE、ON BOUNDARY）。您应该做的就是在屏幕平面上投影三角形，在边缘找到交点并在边缘进行反向投影。点的位置是鼠标的位置。唯一的问题是处理退化的情况，例如将三角形映射到线段。但我认为这不会有问题，因为这样的情况很容易应付。

Answer 2

请查看本页末尾的算法以及本网站提供的所有算法：http://geomalgorithms.com/a05-_intersect-1.html

Answer 3

第一种方法是将边缘（和光线）正交投影到垂直于光线的平面上，然后计算投影光线到投影边缘的距离。

即，首先你确定两个正交向量rdir1, rdir2 与你的射线正交。

然后你计算你的射线（它的基点）到这个平面的投影，这将简单地产生一个二维点rp。

然后您将边缘投影到该平面，只需应用点积即可： pv1 = new Vector2(DotProduct(v1, rdir1), DotProduct(v1, rdir2)) pv2 = new Vector2(DotProduct(v2, rdir1), DotProduct(v2, rdir2))

现在您可以计算从这条二维线pv1, pv2 到点rp 的距离。

假设边缘的方向取自视图矩阵的“前向”方向，则与之正交的两个向量将是视图矩阵的左右向量。

执行上述方法将产生类似于将边缘投影到屏幕上的效果。因此，您也可以将边缘投影到屏幕上并使用这些坐标。

Answer 4

首先，两个几何对象 A 和 B 之间的距离是多少？它是 A 和 B 上任意两点之间的最小距离，即。 dist(A,B) = min { EuclideanLength(x - y) | x in A, y in B}。 （如果它存在并且是唯一的，在您的情况下就是这样。）

这里EuclideanLength((x,y,z)) = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) 你已经知道了。因为sqrt 是严格增加的，所以将SquareEuclideanLength((x,y,z)) = x^2 + y^2 + z^2 最小化就足够了，这大大简化了问题。

在您的问题中，对象是线段A := {v1 + t*(v2-v1) | 0 <= t <= 1} 和线B := {p + s*d | s is any real number}。 （别担心你问的是一条射线，一条线才是你真正想要的。）

现在计算距离归结为找到合适的t 和s 使得SquareEuclideanLength(v1 + t*(v2-v1) - p - s*d) 最小，然后计算EuclideanLength(v1 + t*(v2-v1) - p - s*d) 以获得实际距离。

为了解决这个问题，我们需要一些解析几何。因为d 不为零，我们可以将每个向量v 写成与d 正交的部分和d 的倍数的部分之和：v = Ov + Mv。对于这样的“正交分解”，它始终保持SquareEuclideanLength(v) = SquareEuclideanLength(Ov) + SquareEuclideanLength(Mv)。

因为上面有d = Md

SquareEuclideanLength(v1 + t*(v2-v1) - p - s*d) = SquareEuclideanLength(Ov1 + t*(Ov2-Ov1) - Op) + SquareEuclideanLength(Mv1 + t*(Mv2-Mv1) - Mp - s*d)

左加数不依赖于s，但是你选择了t，你可以找到一个s，这样右加数是0！ （记住Mv1、Mv2、...是d的倍数。）

因此要找到最小值，您只需要像上面那样找到这些地图O、M 并找到最小化器t。

假设d 是标准化的，这些实际上是由Ov := CrossProduct(v, d) 和Mv := DotProduct(v, d)*d 给出的，但请相信我，如果d 未标准化，这也有效。

所以现在找到距离的方法是：找到最小化的0 <= t <= 1

SquareEuclideanLength(Cross(v1 - p, d) + t*Cross(v2 - v1, d)) = SquareEuclideanLength(Cross(v1 - p, d)) + 2*t*Dot(Cross(v1 - p, d), Cross(v2 - v1, d)) + t^2 SquareEuclideanLength(Cross(v2 - v1, d)).

您已经从 Point-Line 距离计算中知道了这个公式（就是这样），它是通过对 t 进行微分并等于 0 来解决的。

所以这个方程的最小值是 t = -Dot(Cross(v1 - p, d), Cross(v2 - v1, d))/SquareEuclideanLength(Cross(v2 - v1, d))

使用此t，您可以计算v1 + t*(v2 - v1)，即线段 A 上最靠近线 B 的点，您可以将其插入点线距离算法以找到所需的距离。

希望对你有帮助！