Python中FFT峰值下的区域

Question

在继续通过 FFT 分析一​​些真实数据集之前，我正在尝试做一些测试，我发现了以下问题。

首先，我创建一个信号作为两个余弦之和，然后使用rfft 进行转换（因为它只有实数值）：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.fft import rfft, rfftfreq

# Number of sample points
N = 800
# Sample spacing
T = 1.0 / 800.0

x = np.linspace(0.0, N*T, N)
y = 0.5*np.cos(10*2*np.pi*x) + 0.5*np.cos(200*2*np.pi*x)

# FFT
yf = rfft(y)
xf = rfftfreq(N, T)

fig, ax = plt.subplots(1,2,figsize=(15,5))
ax[0].plot(x,y)
ax[1].plot(xf, 2.0/N*np.abs(yf))

从信号的定义可以看出，我有两个振幅为 0.5，频率为 10 和 200 的振荡。现在，我希望 FFT 频谱在这些点上类似于两个增量，但显然增加了频率拓宽了峰值：

从第一个峰值可以推断出振幅是 0.5，但不是第二个。我尝试使用np.trapz 获得峰值下的面积并将其用作幅度的估计值，但由于它接近狄拉克增量，因此对我选择的间隔非常敏感。我的问题是我需要尽可能准确地获取振幅以进行数据分析。

编辑：由于它似乎与点数有关，我决定增加（现在我可以）采样频率。这似乎解决了问题，如图：

但是，对于一定数量的点和采样频率，高频峰变宽似乎仍然很奇怪......

Answer 1

这并不奇怪，你有频率箱泄漏。当您离散傅里叶变换所需的信号（采样）时，会创建频率区间，这些频率区间是计算幅度的频率区间。每个 bin 都有宽度，由 sample_rate / num_points 给出。因此，bin 的数量越少，为每个频率分配精确的幅度就越困难。在选择最佳采样率方面存在其他问题，例如防止混叠的香农-奈奎斯特定理。 https://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist%E2%80%93Shannon_sampling_theorem 。但根据问题，有时会有一些用于采样的自定义速率。例如。在处理音频时，广泛使用 44,100 Hz 的采样率，原因是基于人类听力的限制。因此，它还取决于您在编写时要执行分析的数据的性质。无论如何，由于这个问题也有理论价值，你也可以查看https://dsp.stackexchange.com以获取一些有用的信息。

Answer 2

我会评论乔治的回答，但我不能。

也许您研究的起点是离散傅里叶变换的属性。 时域中的信号实际上是余弦乘以框窗，该框窗转换为频域，作为增量与 sinc 函数的卷积。 sinc 函数会涂抹光谱。

但是，我不确定我们是否在此处观察到频谱泄漏，因为窗口恰好适合余弦的完整周期。箱的离散化可能仍然在这里发挥作用。