基于信号延迟的传感器相对位置算法答案

【问题标题】：Algorithm to find out relative location of sensors based on signal delay基于信号延迟的传感器相对位置算法
【发布时间】：2020-09-24 11:20:32
【问题描述】：

这与三角测量有关，但以非直观的方式。

我们有一个由 n 个传感器组成的传感器阵列，它们在空间上是分开的。它们测量信号，其速度相对于传感器之间的距离足够低，我们可以测量传感器之间的所述信号的延迟。（例如 4 个麦克风监听声音，每个相隔 1m 或类似的东西）。

我们不知道这些传感器相对于彼此的位置，也不知道信号源的位置，但我们可以在阵列周围移动源，给我们多个延迟，这与传感器的距离有关传感器之间的相对关系（例如在传感器阵列周围拍手）。

我们可以从一组延迟中找到数组的相对位置吗？

直觉上似乎是可能的，因为我们知道信号的速度，以及每个传感器相对于彼此的信号延迟，所以知道这些传感器的相对距离。

还有一点：如果信号很远，它的行为就像一个无限的平面源，但如果信号很近，波前是球形的，这会使事情变得复杂。

还有2D案例和3D案例。

这张图片是一个信号测量时刻

【问题讨论】：

在源的每个位置(x0, y0)，对于每个传感器，您都可以获得此传感器与源之间的距离R。这意味着该传感器的可能位置形成一个中心(x0, y0) 和半径R 的圆。如果您有两个源位置，这会给您两个不同的圆圈；传感器必须在两个圆圈上；因此它位于两个圆的交点。
一般来说，两个圆的交点上正好有两个点，通过解两题系统很容易找到它们的坐标。如果你不知道怎么做，谷歌“找到两个圆的交点”。重复源的第三个位置，找出两个交点中的哪一个也在第三个圆上。这不仅仅是“与三角测量有关”；它是完全三角测量。

【解决方案1】：

是的，有一些警告。

由于您不知道源信号的时序，您无法直接测量每个阵列与源之间的距离。

但是您仍然可以分辨出不同数组组件之间的距离差异。

这为每对数组组件提供了一个丑陋的方程式。你可以把它写成d_1 - d_0 - measurement_delay_1_0 * signal_speed = 0，其中d_x是源和接收器之间的距离（sqrt((xs-xr) ^2 + (ys-yr)^2 + (zs - zr) ^2)）。

一次测量不足以解决问题。所以现在将源沿 X 方向移动一个单位并进行新的测量。然后将源在 y 方向移动一个单位并进行测量。如果您在 3d 案例中，可能会在 z 上出现一个。我怀疑这（或 4 次测量）就足够了，但我没有深入研究数学。

现在，如果这是一个完美的设置，您将获得完美的测量结果，并且您应该得到一个多项式方程组，您应该能够使用已知技术（在维基百科上查找或一本好的数学书）求解。

但是，现实世界并不完美，因此您不太可能获得精确的数学解决方案。因此，下一个最好的事情是将其视为一种优化解决方案，您希望从最小二乘的角度对每个方程进行优化（再次查找）。这将为您提供位置的最佳近似值。好处是您可以通过进行额外的测量来提高此设置的准确性。

注意事项：

【讨论】：

问题是源和传感器的确切位置是未知的。想法是以某种方式用所有人都在观察的多个事件来校准传感器阵列。
解决方案将建立一个相对位置和坐标系。 (0,0,0) 将是源最初所在的任何位置。轴由源的移动方式定义。例如，第一步可以是任何你想要的，但我们将它定义为 (1,0,0) 等等。