使用 Python，假设我正在运行已知数量的项目I，并且能够计算处理每个项目所需的时间t，以及处理所花费的总时间@ 987654325@ 和到目前为止处理的项目数c。我目前正在即时计算平均值A = T / c，但这可能会因为单个项目需要非常长的时间来处理（几秒钟而不是几毫秒）而产生偏差。
我想展示一个正在运行的标准偏差。在不记录每个t 的情况下如何做到这一点？
【问题讨论】：
正如Wikipedia article on the standard deviation 中所述，跟踪以下三个总和就足够了：
s0 = sum(1 for x in samples)
s1 = sum(x for x in samples)
s2 = sum(x*x for x in samples)
随着新值的到来，这些总和很容易更新。标准差可以计算为
std_dev = math.sqrt((s0 * s2 - s1 * s1)/(s0 * (s0 - 1)))
请注意，如果您的样本是浮点数并且标准偏差与样本的平均值相比较小，那么这种计算标准偏差的方法可能会在数值上出现病态。如果您期望这种类型的样本，您应该求助于 Welford 的方法（请参阅接受的答案）。
【讨论】：
s0 更简单地计算为length(samples)，将s1 计算为sum(samples)？
samples。我选择这种语法是为了清楚每次迭代中将添加什么（以及为了它漂亮的对称外观）。
import numpy as np
class OnlineVariance(object):
"""
Welford's algorithm computes the sample variance incrementally.
"""
def __init__(self, iterable=None, ddof=1):
self.ddof, self.n, self.mean, self.M2 = ddof, 0, 0.0, 0.0
if iterable is not None:
for datum in iterable:
self.include(datum)
def include(self, datum):
self.n += 1
self.delta = datum - self.mean
self.mean += self.delta / self.n
self.M2 += self.delta * (datum - self.mean)
@property
def variance(self):
return self.M2 / (self.n - self.ddof)
@property
def std(self):
return np.sqrt(self.variance)
用每条新数据更新方差：
N = 100
data = np.random.random(N)
ov = OnlineVariance(ddof=0)
for d in data:
ov.include(d)
std = ov.std
print(std)
对照 numpy 计算的标准差检查我们的结果：
assert np.allclose(std, data.std())
【讨论】：
我使用Welford's Method，它可以提供更准确的结果。此链接指向John D. Cook's overview。这里有一段总结了为什么它是首选方法：
这种计算方差的更好方法可以追溯到 1962 年 B. P. Welford 的一篇论文，并在 Donald Knuth 的计算机编程艺术，第 2 卷，第 232 页，第 3 版中进行了介绍。尽管这种解决方案已经为人所知数十年，但了解它的人还不够多。大多数人可能不知道，在他们第一次计算标准差并获得负数平方根的例外情况之前，计算样本方差可能很困难。
【讨论】：