在 Matlab 中检查给定原始矩阵和更改矩阵的行切换

Question

一段时间以来，我一直在尝试解决这个问题，并希望获得一些见解。 假设你有矩阵 A，然后你切换行直到你最终得到矩阵 B；

A = [1 3 1;
3 2 1;
2 3 1;];

B = [3 2 1;
1 3 1;
2 3 1;];

invA =

    0.0000   -1.0000    1.0000
   -1.0000   -1.0000    2.0000
    3.0000    5.0000   -7.0000


invB =

   -1.0000    0.0000    1.0000
   -1.0000   -1.0000    2.0000
    5.0000    3.0000   -7.0000

如何记录这些行开关？我最终试图改变 B 的倒数以匹配 A 的倒数。我的结论是，给定 2 行切换（也就是在第 1 行和第 2 行之间），除了切换 列。

Answer 1

这是一道相当基本的代数题。
你可以把你的矩阵B写成permutation matrixP和A的乘积：

B = PA;

（在您的示例中：P = [0 1 0;1 0 0;0 0 1];）。
现在你可以反转B：

inv( B ) = inv( PA ) 

乘积的倒数是

         = inv(A) * inv(P)

因为矩阵P 是一个置换 矩阵：inv(P) = P.'。因此

         = inv(A) * P.'

即inv(B) = inv(A) * P.'，这意味着您将排列P 应用于inv(A) 的列。

请注意，排列 P 可以表示多个行之间的切换，此外，排列可以相乘以解决行的重复切换。

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一个重要的评论：我在这个答案中使用inv 来表示矩阵的逆矩阵。但是，当运行 Matlab 并显式地对矩阵 it is un-recommended to use inv function 进行数值反转时。