如何理解公式 c=A(i:j,:)*inv(A)*b

Question

我正在尝试理解公式

c=A(i:j,:)*inv(A)*b

在哪里i,j=1:length(A)。假设A是可逆的

上面的公式允许我们将索引i中的所有元素复制到向量b中的索引j。我还通过matlab代码实现了它，如下代码。但是，我并不清楚为什么上面的公式允许我们复制向量b 中的元素。让我们看看我的公式和我的实现，请解释帮助我吗？非常感谢 当我在matlab中实现代码是

A =[ 10     1     7    10     9;
     3     9     3     1     2;
     9     2     3     5     4;
     1     2     8     6     1;
     5     2     6     6    10]

b =[ 8;
     5;
     8;
    10;
     6]

然后c=A(3:5,:)*inv(A)*b=[8;10;6] 结果看起来像c=b(3:5,:);

更多扩展：假设 D 是 4×5 矩阵，其中从 A 的第 3 行到第 5 行创建第 1 到第 3 行。D 的最后一行是 1。那么上面的公式就是

c(1:4,:)=D*inv(A)*b=[8;10;6;1.12]...

它还复制向量 b 的第 3 到第 5 个元素

Answer 1

对于可逆矩阵A，代码c = A(i:j,:)*inv(A)*b（直至数值错误）相当于：

tmp = A*inv(A)*b;
c = tmp(i:j);

矩阵乘积A*inv(A) 将相互抵消（就像123*(1/123) 或更一般的x*(1/x) 对x~=0 一样），（再次：对于不可逆矩阵到数值误差），所以它等价于：

tmp = b;
c = tmp(i:j);

确实没有理由做上述任何事情，您只会引入数值错误，甚至对于奇异矩阵都无法正常工作！只需改用c = b(i:j)。