有向图：检查邻接矩阵中的循环答案

【问题标题】：Directed graph: checking for cycle in adjacency matrix有向图：检查邻接矩阵中的循环
【发布时间】：2015-12-24 11:16:32
【问题描述】：

关于 DFS 算法，有另一种方法来检查用邻接矩阵表示的有向图中是否存在环？

我找到了有关矩阵属性的零碎信息。也许我可以将矩阵 A 与自身相乘 n 次，并检查每个结果矩阵中是否存在非零对角线。

虽然这种方法可能是正确的，但我如何才能显式提取表示循环的顶点列表？那么这个假设算法的复杂度呢？

提前感谢您的帮助。

【问题讨论】：

你的方法是对的，但似乎很难找到确切的顶点

标签： algorithm matrix graph

【解决方案1】：

假设在n 迭代之后，您有一个矩阵，其中i 行和j 列的单元格是M[n][i][j]

根据定义M[n][i][j] = sum over k (M[n - 1][i][k] * A[k][j])。假设M[13][5][5] > 0，意味着它有一个长度为13的循环，从5开始到5结束。要拥有M[13][5][5] > 0，必须有一些k，这样M[12][5][k] * A[k][5] > 0。假设k = 6，现在您知道循环中的另一个节点 (6)。随之而来的是M[12][5][6] > 0和A[6][5] > 0

要拥有M[12][5][6] > 0，必须有一些k，这样M[11][5][k] * A[k][6] > 0。假设k = 9，现在，您知道循环中的另一个节点（9）。随之而来的是M[11][5][9] > 0 和A[9][6] > 0

然后，您可以重复执行相同的操作以查找循环中的其他节点。

【讨论】：

你的方法看起来很有趣，谢谢！与 BFS 相比，该算法的复杂性如何？您认为它在计算成本方面可能更有效？
我觉得这个答案很有见地；然而，该方法实际上是最短路径的Bellman-Ford 算法。它的运行时间比 DFS 差，但是它可以潜在地发现所有位于单次循环中的节点。算法的选择取决于目标；目标是找到所有位于循环上的节点还是找到任意循环（如果存在）？
@Codor 目标是列出所有循环，并且对于每个循环，列出位于循环上的所有节点。

【解决方案2】：

可以修改深度优先搜索来判断是否存在循环。算法第一次发现之前访问过的节点时，可以从堆栈中提取循环，因为之前找到的节点必须仍在堆栈中；使用用户定义的堆栈而不是调用堆栈是有意义的。复杂度将是O(|V|+|E|)，对于未修改的深度优先搜索本身。

【讨论】：

感谢您的回答。考虑到有关该算法的文献的广泛可用性，实现 DFS 可能更容易。