让我们考虑方阵
（n 是矩阵 E 的维数并且是固定的（例如 n = 4 或 n=5））。矩阵条目 满足以下条件：
任务是生成所有矩阵 E。我的问题是如何做到这一点？有没有通用的方法或算法？这甚至可能吗？从什么开始？
【问题讨论】：
n * n?
n 的矩阵E(n,k)，其元素范围为0..k，满足您的条件。假设您可以生成所有这些。现在你需要什么来生成所有E(n+1,k)？
a(0,0) + a(1,1)？
要考虑的一个简单的解决方案是生成所有可能的n-by-n 矩阵E，其中每个分量都是不大于n 的非负整数，然后仅从那些矩阵中获取满足额外的约束。那会有什么复杂性？
每个分量都可以取n + 1值，有n^2分量，所以有O((n+1)^(n^2))候选矩阵。这具有极高的增长率。
链接：WolframAlpha analysis of (n+1)^(n^2)
我认为这不是一种可行的方法是安全的。
以下是更好的解决方案。它涉及很多数学。
让S 成为满足您要求的所有矩阵E 的集合。让N = {1, 2, ..., n}.
定义：
让N 上的metric 具有通常的定义，但省略了对称性要求。
让I 和J 对集合N 进行分区。当i 在I 和j 在J 中时，让D(I,J) 成为n x n 矩阵，D_ij = 1 在 D_ij = 0 中，否则D_ij = 0。
让A 和B 在S 中。那么A 与B相邻当且仅当存在I 和J 分区N 使得A + D(I,J) = B。
我们说A 和B 相邻当且仅当A 与B 相邻或B 与@987654360 相邻@。
S 中的两个矩阵A 和B 是路径连接当且仅当存在@ 的相邻元素序列987654364@他们之间。
让函数M(E)表示矩阵E的元素之和。
引理 1：E = D(I,J) 是 N 上的一个指标。
证明：
除了边从I到J的情况外，这是一个简单的陈述。让i在I和j在J。然后E_ij = 1定义为D(I,J)。让k在N中。如果k在I中，则E_ik = 0和E_kj = 1，所以E_ik + E_kj >= E_ij。如果k在J中，那么E_ik = 1和E_kj = 0，那么E_ij + E_kj >= E_ij。
引理 2：
让E 在S 中，这样E != zeros(n,n)。然后存在I 和J 分区N 使得E' = E - D(I,J) 在S 和M(E') < M(E) 中。
证明：
让(i,j)等于E_ij > 0。设I是N的子集，可以通过成本0的有向路径从i到达。I不能为空，因为i在I中。I不能是N，因为j不在I中。这是因为E满足三角不等式和E_ij > 0。让
J = N - I。那么I和J都是非空的并且分区N。根据I的定义，不存在任何(x,y)使得E_xy = 0和x在I中，而y在J中。因此，E_xy >= 1用于I中的所有x和J中的y。因此
E' = E - D(I,J) >= 0。M(E') < M(E)是显而易见的，因为我们所做的只是从E的元素中减去以得到E'。现在，由于E是N上的一个度量，而D(I,J)是N（由引理1）和E >= D(I,J)上的一个度量，我们有E'是一个关于N。因此E'在S中。
定理：
让E 在S 中。那么E 和zeros(n,n) 是路径连接的。
证明（通过归纳）：
如果E = zeros(n,n)，那么这个语句是微不足道的。假设
E != zeros(n,n)。令M(E)为E中值的总和。然后，通过归纳，我们可以假设该陈述对于具有M(E') < M(E)的任何矩阵E'都是正确的。由于
E != zeros(n,n)，根据引理2，我们在S中有一些E'，这样M(E') < M(E)。然后通过归纳假设E'路径连接到zeros(n,n)。因此E路径连接到zeros(n,n)。
推论：
集合S 是路径连接的。
证明：
让A和B在S中。根据定理，A和B都路径连接到zeros(n,n)。因此A路径连接到B。
推论告诉我们S 中的所有内容都是路径连接的。因此，发现S 的所有元素的有效方法是对以下定义的图执行广度优先搜索。
S 的元素是图的节点给定一个节点E，您可以通过简单地枚举所有可能的矩阵D(I,J)（其中有2^n）并生成E' = E + D(I,J)来找到E的所有（可能）未访问的邻居对于每个。枚举D(I,J) 应该相对简单（对于D 的每个可能的子集I 都有一个，除了空集和D）。
请注意，在上一段中，E 和 D(I,J) 都是 N 上的指标。因此，当您生成E' = E + D(I,J) 时，您不必检查它是否满足三角不等式 - E' 是两个指标的总和，因此它是一个指标。要检查E' 是否在S 中，您只需验证E' 中的最大元素不超过n。
您可以从S 的任何元素开始广度优先搜索，并保证不会错过任何S。所以你可以用zeros(n,n)开始搜索。
请注意，随着 n 的增加，集合 S 的基数增长得非常快，因此计算整个集合 S 将仅适用于小的 n。
【讨论】：