在矩阵中找到任何矩形之和的最快方法

Question

我有一个 m x n 矩阵，并且希望能够计算任意矩形子矩阵的总和。对于给定的矩阵，这将发生多次。我应该使用什么数据结构？

例如我想在矩阵中找到矩形的总和

1   2   3   4
5   6   7   8
9   10  11  12
13  14  15  16

总和是 68。

我要做的是逐行累积：

1   2   3   4
6   8   10  12
15  18  21  24
28  32  36  40

然后，如果我想找到矩阵的总和，我只需累积 28,32,36,40 = 136。只有 4 次操作而不是 15 次。 如果我想找到第二行和第三行的总和，我只需累积 15,18,21,24 并减去 1, 2, 3, 4. = 6+8 +10+12+15+18+21+24 = 68。 但在这种情况下，我可以使用另一个矩阵，按列累加：

1   3   6   10
5   11  18  26
9   19  30  42
13  27  42  58

在这种情况下，我只是将 26 和 42 = 68 相加。只有 2 次操作而不是 8 次。对于更宽的子矩阵，使用第二种方法和矩阵是有效的，对于更高的 - 第一种。我可以以某种方式将其拆分为一个矩阵的方法吗？

所以我只是对角求和并减去另外两个？

Answer 1

你的方法快到了。解决方案是使用求和面积表（又名积分图像）：

• http://en.wikipedia.org/wiki/Summed_area_table

关键的想法是你做一次通过你的矩阵并累积，这样“求和区域表中任意点 (x, y) 的值就是 (x) 上方和左侧所有像素的总和, y), 包括在内。”。

然后，您可以通过四次查找在恒定时间内计算任何矩形内的总和。

Answer 2

为什么不能使用 For 循环来添加它们？

int total = 0;
for(int i = startRow; i = endRow; i++)
{
    for(int j = startColumn; j = endColumn; j++)
    {
        total += array[i][j];
    }
}

您的子数组（“矩形”）从 startRow 到 endRow（宽度）和 startColumn 到 endColumn（高度）的位置。