沿对角线设置对称矩阵

Question

我有一个 8x8 矩阵，例如A=rand(8,8)。我需要做的是沿对角线对所有 2x2 矩阵进行子集化。这意味着我需要保存矩阵A(1:2,1:2)、A(3:4,3:4)、A(5:6,5:6)、A(7:8,7:8)。为了更好地解释我自己，我正在使用的当前版本如下：

 AA = rand(8,8);
 BB = zeros(8,2);
 for i = 1:4
     BB(2*i-1:2*i,:) = AA(2*i-1:2*i,2*i-1:2*i);
 end

这适用于小型AA 矩阵和小型AA 子矩阵，但是随着大小显着增长（甚至可以达到50,000x50,000），使用for 循环就像上面的那样不可行.有没有办法在没有循环的情况下实现上述目标？我想到了其他可能利用上三角矩阵和下三角矩阵的方法，但是即使这些方法在某些时候似乎也需要一个循环。任何帮助表示赞赏！

Answer 1

这是一种方法：

AA = rand(8,8); % example matrix. Assumed square
n = 2; % submatrix size. Assumed to divide the size of A
mask = repelem(logical(eye(size(AA,1)/n)), n, n);
BB = reshape(permute(reshape(AA(mask), n, n, []), [1 3 2]), [], n);

这会生成一个logical mask 来选择所需的元素，然后使用reshape 和permute 根据需要重新排列它们。

Answer 2

这里有一个替代方案，它不会生成完整的矩阵来选择块对角线，如Luis Mendo' answer，而是直接生成这些元素的索引。对于非常大的矩阵，这可能会更快，因为在这种情况下创建索引矩阵会很昂贵。

AA = rand(8,8); % example matrix. Assumed square
n = 2; % submatrix size. Assumed to divide the size of A

m=size(AA,1);
bi = (1:n)+(0:m:n*m-1).'; % indices for elements of one block
bi = bi(:);               % turn into column vector
di = 1:n*(m+1):m*m;       % indices for first element of each block
BB = AA(di+bi-1);         % extract the relevant elements
BB = reshape(BB,n,[]).'   % put these elements in the desired order

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基准测试

AA = rand(5000); % couldn't do 50000x50000 because that's too large!
n = 2;

BB1 = method1(AA,n);
BB2 = method2(AA,n);
BB3 = method3(AA,n);
assert(isequal(BB1,BB2))
assert(isequal(BB1,BB3))

timeit(@()method1(AA,n))
timeit(@()method2(AA,n))
timeit(@()method3(AA,n))

% OP's loop
function BB = method1(AA,n)
m = size(AA,1);
BB = zeros(m,n);
for i = 1:m/n
   BB(n*(i-1)+1:n*i,:) = AA(n*(i-1)+1:n*i,n*(i-1)+1:n*i);
end
end

% Luis' mask matrix
function BB = method2(AA,n)
mask = repelem(logical(eye(size(AA,1)/n)), n, n);
BB = reshape(permute(reshape(AA(mask), n, n, []), [1 3 2]), [], n);
end

% Cris' indices
function BB = method3(AA,n)
m = size(AA,1);
bi = (1:n)+(0:m:n*m-1).';
bi = bi(:);
di = 0:n*(m+1):m*m-1;
BB = reshape(AA(di+bi),n,[]).';
end

在我的计算机上，使用 MATLAB R2017a 我得到：

• method1（OP 的循环）：0.0034 秒
• method2（Luis 的掩码矩阵）：0.0599 秒
• method3（克里斯的指数）：1.5617e-04 s

请注意，对于 5000x5000 数组，此答案中的方法比循环快约 20 倍，而循环比 Luis 的解决方案快约 20 倍。

对于较小的矩阵，情况略有不同，Luis 的方法几乎是 50x50 矩阵的循环代码的两倍（尽管这种方法仍然比它快 3 倍）。