三角形和对称矩阵的特征压缩存储和优化操作答案

【问题标题】：Eigen packed storage and optimized operations for Triangular and symmetric matrices三角形和对称矩阵的特征压缩存储和优化操作
【发布时间】：2016-07-17 10:45:10
【问题描述】：

到目前为止，我知道 eigen 没有为三角形或对称矩阵提供任何特殊的优化操作。而且它也不为这些矩阵使用任何打包存储。三角矩阵和对称矩阵都被视为正规矩阵。但是 eigen 有view 的概念。但在 Eigen 的文档中，他们提到他们对对称矩阵和三角矩阵执行优化操作。而且我也不明白The opposite triangular part is never referenced and can be used to store other information是什么意思

TriangularView 给出了密集矩阵的三角形部分的视图，并且允许对其执行优化操作。对面三角形部分永远不会被引用，可用于存储其他信息。

他们对对称矩阵提到了同样的事情

就像三角矩阵一样，你可以引用任何三角部分的方阵将其视为自伴随矩阵并执行特殊和优化的操作。再次相反的三角形部分永远不会被引用，可用于存储其他信息。

所以我的问题是：

本征是否将对称矩阵和三角矩阵视为特殊矩阵，还是将其视为与任何其他本征矩阵一样的普通矩阵？
Eigen 是做打包存储还是特殊的紧凑存储？
这条线是什么意思对面的三角形部分从不被引用，可以用来存储其他信息？
eigen 是否对三角矩阵和对称矩阵执行任何优化操作？

虽然这里似乎有 4 个问题，但都是密切相关的。除了问题 3，是/否回答对我来说都可以。

【问题讨论】：

标签： c++ matrix eigen

【解决方案1】：

通常我们可以说 Eigen 主要针对速度进行优化，而不是针对存储空间进行优化。

您已经注意到，视图概念是对称矩阵和三角矩阵的特殊排列；
不，使用特殊存储方案为三角矩阵节省 50% 的内存空间似乎对 Eigen 不是很有吸引力；
在一般密集矩阵方案中存储三角矩阵时，50% 的空间没有被使用。您可以使用未使用的部分来存储其他东西；
是的，您可以使用对称/自伴随视图为A * A^T 等操作节省 50% 的运行时间

此代码以不同的方式计算A * A^T，并附有关于您的问题 3 的演示。您可以比较结果并以合理的大尺寸测量运行时间。

#include <iostream>
#include "Eigen/Eigen"

int main() {
  using namespace Eigen;

  const int n = 5;
  Eigen::MatrixXd a(n, n), b(n, n), c(n, n), d(n, n);
  a.setRandom();
  b.setZero();
  c.setZero();
  d.setZero();
  d.bottomLeftCorner(n / 2, n / 2).setConstant(100);

  std::cout << "original d =\n" << d << std::endl;

  b = a * a.transpose();
  std::cout << "b=\n" << b << std::endl;

  c.selfadjointView<Upper>().rankUpdate(a);
  std::cout << "c=\n" << c << std::endl;

  d.selfadjointView<Upper>().rankUpdate(a);
  std::cout << "d=\n" << d << std::endl;

  return 0;
}

输出：

original d =
  0   0   0   0   0
  0   0   0   0   0
  0   0   0   0   0
100 100   0   0   0
100 100   0   0   0
b=
  2.45959  0.767369   1.13659 -0.511436   1.29631
 0.767369  0.557756  0.124955 -0.480089  0.434794
  1.13659  0.124955   1.39678 -0.660623   0.87062
-0.511436 -0.480089 -0.660623   1.43841 -0.103395
  1.29631  0.434794   0.87062 -0.103395   2.02476
c=
  2.45959  0.767369   1.13659 -0.511436   1.29631
        0  0.557756  0.124955 -0.480089  0.434794
        0         0   1.39678 -0.660623   0.87062
        0         0         0   1.43841 -0.103395
        0         0         0         0   2.02476
d=
  2.45959  0.767369   1.13659 -0.511436   1.29631
        0  0.557756  0.124955 -0.480089  0.434794
        0         0   1.39678 -0.660623   0.87062
      100       100         0   1.43841 -0.103395
      100       100         0         0   2.02476

【讨论】：