在不可解的多变量线性方程中找到相等的变量答案

【问题标题】：Finding equal variables in non solvable multi-variables linear equations在不可解的多变量线性方程中找到相等的变量
【发布时间】：2017-12-05 18:38:57
【问题描述】：

我正在尝试找到一种算法来解决当前问题。我有多个未知变量 (F1,F2,F3, ... Fx) 和 (R1,R2,R3 ... Rx) 以及多个这样的方程：

F1 + R1 = a
F1 + R2 = a
F2 + R1 = b
F3 + R2 = b
F2 + R3 = c
F3 + R4 = c

其中 a、b 和 c 是已知数。我试图在这些方程中找到所有相等的变量。例如在上面的等式中，我可以看到 F2 和 F3 相等，R3 和 R4 相等。

第一个方程告诉我们 R1 和 R2 相等，第二个方程告诉我们 F2 和 F3 相等，而第三个方程告诉我们 R3 和 R4 相等。

对于更复杂的场景，是否有任何已知算法可以找到所有相等（F 和 R）的变量？？？？

（如果不够清楚，我会编辑问题）

谢谢

【问题讨论】：

“更复杂的场景”是指一个方程中有两个以上未知变量的情况吗？
不，所有方程只有两个变量。我试图找到所有相等的 F 变量和所有相等的 R 变量。更复杂的场景意味着数百个方程。
多少个方程，多少个变量？（在您的示例中，变量比方程式更多；这是一个重要的事实）
我可能会得到比方程更多的变量，但我确信方程无法求解。不存在包含相同变量集的多个方程。我永远找不到 Fx 或 Rx 的值。但是我可以找到例如 Fx 是否等于 Fy 和 Fz，这就是我想要实现的。方程和变量的数量取决于我进行一些实验的时间和实验条件。对于受控测试环境，我有 128 个正向 (F) 变量和 128 个反向 (R) 变量和 2200 个方程。
如果没有解决方案，那么目标是什么？听起来你有两个组成部分：最大化相等变量的数量和最大化强制约束。这些通常是相互矛盾的，需要有一些模型来控制这一点。（示例：没有满足约束：将所有变量设置为 0）

标签： python linear-algebra equivalence

【解决方案1】：

对于一般情况，行梯队可能是要走的路。如果每个方程只有两个变量，那么您可以认为每个变量都在一个分区中。每当两个变量一起出现在一个方程中时，它们的分区就会被连接起来。因此，首先每个变量都在其自己的分区中。在第一个等式之后，有一个包含F1 和R1 的分区。在第二个等式之后，该分区将替换为包含F1、R1 和R2 的分区。您应该以某种顺序排列变量，当两个分区连接时，将除第一个分区之外的所有变量都放在第一个分区中（如何排序变量并不重要，您只需要某种方式决定哪个是“第一个”）。例如，在第一个等式之后，您有R1 = a-F1。在第二个等式之后，您有R1 = a-F1 和R2 = a-F1。每个变量可以用两个数字表示：某个数字乘以它们分区中的第一个变量，再加上一个常数。然后在最后，您遍历每个分区，并寻找具有相同的两个数字来表示它们的变量。

【讨论】：

【解决方案2】：

这里有个提示：您已经定义了一个包含 7 个变量和 6 个方程的线性方程组。这是一个粗略的矩阵/向量表示法：

 1 0 0 1 0 0 0     F1     a
 1 0 0 0 1 0 0     F2     a
 0 1 0 1 0 0 0  *  F3  =  b
 0 0 1 0 1 0 0     R1     b
 0 1 0 0 0 1 0     R2     c
 0 0 1 0 0 0 1     R3     c
                   R4

如果您手动执行Gaussian elimination，您可以看到例如第一行减去第二行的结果

 (0 0 0 1 -1 0 0) * (F1 F2 F3 R1 R2 R3 R4)^T = a - a
                                     R1 - R2 = 0
                                          R1 = R2

这意味着 R1 和 R2 是您所说的等价物。有许多不同的方法来解决系统或解释结果。也许你会发现这个帖子很有用：Is there a standard solution for Gauss elimination in Python?

【讨论】：

在 sympy 中，rref() 返回行梯形。如果任何一行只包含两个非零条目，其中一个是 -1 并且不在扩充列中，则表示两个等效变量。