我有一组点 (x1, x2,..xn) 位于由 Ax+ By+Cz+d=0 定义的平面上。 我想找到转换矩阵来平移和旋转到 XY 平面。因此，新的点坐标将为 x1'=(xnew, ynew,0)。
很多答案给出四元数、点或叉积矩阵。我不确定哪个是正确的方法。
谢谢
【问题讨论】：
首先，除非在你的平面方程中，d=0，否则没有linear transformation 可以申请。您需要改为执行affine transformation。
执行此操作的一种方法是确定要旋转的角度和矢量，以使您的点集位于与 XY 平面平行的平面中（即，转换后的点集的 Z 分量都具有相同的值）。然后你只需删除 Z 组件。
为此，让 V 成为包含您的点的平面的归一化平面法线。为方便起见，从上面的平面方程定义 Ax+By+Cz+d=0：
V = (A, B, C) V' = V / ||V|| =（A'，B'，C'） Z = (0, 0, 1)
在哪里
A' = A / ||V|| B' = B / ||V|| C' = C / ||V|| ||V|| = (A2+B2+C2)1/2
角度将是：
θ = cos-1(Z∙V / ||V||) = cos-1(Z∙V') = cos-1(C')
绕其旋转的轴R只是归一化平面法线V'和Z的叉积。那是
R = V'×Z = (B', -A', 0)
您现在可以使用这个角度/轴对来构建 quaternion rotation，将数据集中的所有点旋转到平行于 XY 平面的平面。然后，我之前说过，只需放下 Z 分量即可在 XY 平面上执行正交投影。
更新： antonakos 在使用 API 获取轴/角度对之前对 R 进行规范化提出了一个很好的观点。
【讨论】：
R = V' × Z，而不是 R = Z × V'。另外值得注意的是，许多轴/角度 API 需要对 R 进行规范化（目前还没有）。