导弹、宇宙飞船的空间物理学 - 微积分学习版

Question

假设我们有导弹 A，带有位置矢量和速度大小（忽略加速度，就像许多游戏一样）和飞船 B，带有位置和速度矢量。现在，这枚导弹，作为一种令人讨厌的寻找导弹，将尝试为宇宙飞船 B 找到最佳拦截。

Missile A 有两个优点：它知道微积分，并且可以计算多项式的根。然而，导弹，或者抽象地说，程序员，还在学习微积分，想知道他是否有正确的方程。 （多项式根将由一个名为 Jenkins-Traub Code Implemented From Netlib 的好人来解决）

也就是说：

• mp = 导弹位置

• mv = 导弹速度

• sp = 飞船位置

• sv = 飞船速度

• t = 时间

根据程序员的最佳猜测，截距的等式是： tspsv + tspmv - tmpsv - tmpmv

除非我很确定我完全走错了路，因为在那个混乱中可能应该有一些指数；这是解决问题的尝试： (sp-mp)(sv-mv)(t)

我的另一个选择是区分 (sp-mp)(sv-mv)^2，但我想先获得反馈，部分原因是，除非我弄错了，否则 '(sp-mp)' 会解析为 '1' .这似乎......奇怪。 OTOH，该功能的变化速度可能是我正在寻找的。​​p>

那么 - 我做错了什么，在哪里以及为什么？

谢谢。

Potentially-useful link to first thread.

编辑：

对等式求和：

(a+bx) + (c+ex)

(a+1bx^0) + (c+1ex^0)

(a+1) + (c+1)

无法生存。

方程的乘积：

(a+bx)(c+ex)

ac+aex+cbx+bex^2

不是多项式（无法使用 Jenkins-Traub 求解）并且看起来不太正确。

ac+1aex^0+1cbx^0+2bex^1

ac+ae+cb+2bex

我认为绝对不是那样。

Answer 1

导弹的二维运动方程为（假设从 t=0 开始）

[ mpx(t) = mpx(0) + mvx*t , mpy(t) = mpy(0) + mvy*t ]

宇宙飞船的运动是

[ spx(t) = spx(0) + svx*t , spy(t) = spy(0) + svy*t ]

其中mpx(0)mpy(0)spx(0)spy(0)是初始位置分量

所以要相交，你必须有mpx(t)=spx(t) 和mpy(t)=spy(t)。这是解决两个未知数的两个方程。一个可能是拦截t的时间，另一个可能是slope=mvy/mvx给出的导弹方向。或者它可以是导弹mpx(0)和mpy(0)的初始位置，或者给定目标拦截时间的速度分量。

从问题中不清楚您在寻找什么。

Answer 2

瞬时解决方案

Position_Ship + t*Velocity_Ship = Position_Missile + t*Velocity_Missile

如果它们被设置为拦截，那么您可以在任一维度上轻松求解 t。

如果你想确定Velocity_Missile，我们还需要一个约束。

N = (Position_Missile - Position_Ship) ^ Velocity_Ship（交叉产品）

N dot Velocity_Missle = 0

这将为您提供一对或线性联立方程。

动态解决方案

如果最初给出Velocity_Missile，并且我们想要应用加速直到我们到达限制半径内，那么它就会变得棘手。您可以使用简单的追求曲线获得美观的解决方案，或者我们可以得到数值......

让Velocity_Missile' 是上面的瞬时解，推导出相应的t'，给定电机的功率，您可以计算t'' 传递速度变化所需的时间。添加此t''*Ship_Velocity 以获得更新的目标位置。迭代。

Answer 3

如果你有mp、mv和sp，那么计算sv和t：

mp+mv(t)=sp+sv(t) and |sv|=q (maxspeed)
mp+mv(t)-sp+sv(t)=0

mpx+mvx*t-spx+svx*t=0
mpy+mvy*t-spy+svy*t=0

svx^2+svy^2=q^2
svx^2+svy^2-q^2=0

然后我们可以解决：

(mpx-spx)/t+mvx=svx
(mpy-spy)/t+mvy=svy

((mpx-spx)/t+mvx)^2+((mpy-spy)/t+mvy)^2=q^2
(mpx-spx)^2/t^2+2*mvx*(mpx-spx)/t+mvx^2+(mpy-spy)^2/t^2+2*mvy*(mpy-spy)/t+mvy^2=q^2
((mpx-spx)^2+(mpy-spy)^2)/t^2+(2*mvx*(mpx-spx)+2*mvy*(mpy-spy))/t+mvx^2+mvy^2-q^2=0
((mpx-spx)^2+(mpy-spy)^2)+(2*mvx*(mpx-spx)+2*mvy*(mpy-spy))*t+(mvx^2+mvy^2-q^2)*t^2=0
((mpx-spx)^2+(mpy-spy)^2)/(mvx^2+mvy^2-q^2)+(2*mvx*(mpx-spx)+2*mvy*(mpy-spy))/(mvx^2+mvy^2-q^2)*t+t^2=0

c = (mvx^2+mvy^2-q^2)
if   a = (2*mvx*(mpx-spx)+2*mvy*(mpy-spy))/c
and  b = ((mpx-spx)^2+(mpy-spy)^2)/c
then t = -a/2+-sqrt(a^2/4-b)

a/2 = (2*mvx*(mpx-spx)+2*mvy*(mpy-spy))/2c
a/2 = (mvx*(mpx-spx)+mvy*(mpy-spy))/c
a^2/4 = (mvx^2*(mpx-spx)^2+2*mvx*(mpx-spx)*mvy*(mpy-spy)+mvy^2*(mpy-spy)^2)/c^2

b/c^2=((mpx-spx)^2+(mpy-spy)^2)*c
b/c^2=((mpx-spx)^2+(mpy-spy)^2)*(mvx^2+mvy^2-q^2)
b/c^2=mvx^2(mpx-spx)^2+mvx^2(mpy-spy)^2+mvy^2(mpx-spx)^2+mvy^2(mpy-spy)^2-q^2(mpx-spx)^2-q^2(mpy-spy)^2

t = -(mvx*(mpx-spx)+mvy*(mpy-spy))/c +- sqrt((mvx^2*(mpx-spx)^2+2*mvx*(mpx-spx)*mvy*(mpy-spy)+mvy^2*(mpy-spy)^2)-(mvx^2(mpx-spx)^2+mvx^2(mpy-spy)^2+mvy^2(mpx-spx)^2+mvy^2(mpy-spy)^2-q^2(mpx-spx)^2-q^2(mpy-spy)^2))/c

t = -(mvx*(mpx-spx)+mvy*(mpy-spy))/c +- sqrt((2*mvx*(mpx-spx)*mvy*(mpy-spy))-(mvx^2(mpy-spy)^2+mvy^2(mpx-spx)^2)+q^2((mpx-spx)^2+(mpy-spy)^2)))/c

t = -(mvx*(mpx-spx)+mvy*(mpy-spy))/c +- sqrt(-(mvx(mpy-spy)-mvy(mpx-spx))^2+q^2((mpx-spx)^2+(mpy-spy)^2)))/c

t = -(mvx*(mpx-spx)+mvy*(mpy-spy))/c +- sqrt(-(mvx(mpy-spy)-mvy(mpx-spx))^2+q^2(c+q^2))/c
t = -(mvx*(mpx-spx)+mvy*(mpy-spy))/c +- sqrt(-(mvx(mpy-spy)-mvy(mpx-spx))^2+q^2(c+q^2))/c

t = -(mvx*(mpx-spx)+mvy*(mpy-spy))/c +- sqrt(-(mvx(mpy-spy)-mvy(mpx-spx))^2+q^2(c+q^2))/(mvx^2+mvy^2-q^2)

我没有时间进一步简化，但可以完成，或者只是评估它。

然后将 t 插回：

svx=(mpx-spx)/t+mvx
svy=(mpy-spy)/t+mvy

获取 s 向量。

也许我在某个地方做错了……