“稳定”多维缩放算法答案

【问题标题】：'Stable' multi-dimensional scaling algorithm“稳定”多维缩放算法
【发布时间】：2013-11-28 10:40:53
【问题描述】：

我有一个节点的无线网状网络，每个节点都能够报告其与其邻居的“距离”，以（简化的）信号强度来衡量。节点在地理上位于 3d 空间中，但由于无线电干扰，节点之间的距离不需要三角（三角？）一致。即，给定节点 A、B 和 C，A 和 B 之间的距离可能是 10，A 和 C 之间的距离也可能是 10，而 B 和 C 之间的距离可能是 100。

我想做的是根据节点的连接性来可视化逻辑网络布局，即在视觉中包含节点之间的逻辑距离。

到目前为止，我的研究表明，多维缩放 (MDS) 正是为这类事情而设计的。鉴于我的数据可以直接表示为二维距离矩阵，它甚至是更一般的 MDS 的更简单形式。

现在，似乎有很多 MDS 算法，参见例如http://homepage.tudelft.nl/19j49/Matlab_Toolbox_for_Dimensionality_Reduction.html 和 http://tapkee.lisitsyn.me/ 。我需要在 C++ 中执行此操作，我希望我可以使用现成的组件，即不必从论文中重新实现算法。所以，我认为：https://sites.google.com/site/simpmatrix/ 将是门票。它有效，但是：

布局不稳定，即每次重新运行算法时，节点的位置都会发生变化（见下图 1 和 2 之间的差异 - 这是因为已经运行了两次，没有任何进一步的变化）。这是由于传递给该算法的初始化矩阵（其中包含每个节点的初始位置，然后算法会迭代校正） - 我传递一个空的，然后实现派生一个随机的。一般来说，布局确实接近我对给定输入数据所期望的布局。此外，在不同的运行之间，节点的方向（顺时针或逆时针）可以改变。见下图 3。
我认为很明显的“解决方案”是传递一个稳定的默认初始化矩阵。但是当我最初将所有节点放在同一个地方时，它们根本没有移动；当我将它们放在一个轴上时（节点 0 位于 0,0 ；节点 1 位于 1,0 ；节点 2 位于 2,0 等），它们仅沿该轴移动。（见下图 4）。不过它们之间的相对距离还可以。

所以看起来这个算法只改变节点之间的距离，但不改变它们的位置。

感谢您阅读本文 - 我的问题是（我很乐意回答其中的一个或几个问题，因为每个问题都可能让我知道继续前进的方向）：

我在哪里可以找到有关众多 MDS 算法的属性的更多信息？
是否有一种算法可以导出网络中每个节点的完整位置，而无需传递每个节点的初始位置？
是否有可靠的方法来估计每个点的位置，以便算法可以正确缩放它们之间的距离？我没有这些节点的地理位置，这是本练习的重点。
是否有任何算法可以在两次运行之间保持网络派生的“角度”不变？

如果一切都失败了，我的下一个选择是使用我上面提到的算法，增加迭代次数以将运行之间的可变性保持在几个像素左右（我必须试验多少次迭代这将采取），然后围绕节点 0“旋转”每个节点，例如，将节点 0 和 1 在水平线上从左到右对齐；这样，在 MDS 算法确定点的相对距离后，我会“纠正”点的位置。我还必须纠正每个节点周围连接节点的顺序（顺时针或逆时针）。这可能很快就会变得多毛。

显然我更喜欢稳定的算法解决方案 - 增加迭代以消除随机性并不是很可靠。

谢谢。

编辑：我被推荐到 cs.stackexchange.com 并在那里制作了一些 cmets；有关算法建议，请参阅https://cs.stackexchange.com/questions/18439/stable-multi-dimensional-scaling-algorithm。

图 1 - 带有随机初始化矩阵：

图像 2 - 使用相同的输入数据运行后，与 1 相比旋转：

图 3 - 与前 2 相同，但节点 1-3 在另一个方向：

图 4 - 节点的初始布局在一条线上，它们在 y 轴上的位置没有改变：

【问题讨论】：

在进一步开发我的测试数据集之后，我发现我还有一个需求。我没有所有节点之间的距离 - 网络一侧的节点可能与另一侧的节点遥不可及。我需要一种能够指定这一点的方法，而不必指定彼此无法到达的那些之间的较大距离，因为这样它们之间的距离在结果图中将是相同的。最好是我希望无法触及的节点彼此远离，但如果我不绘制它们之间的连接，视觉效果可能也会很清晰。
您可以添加一个假距离来分隔未连接的组（您可能知道这一点，但您想要的是图中的“简单连接的组件”），但不幸的是每个组都可以单独反映和旋转.我删除了我的答案，因为它只是重复了您已有的想法。
谢谢，我不知道这个词，我会朝那个方向调查。回复：另一个答案，好清楚 - 我只是在检查我是否遗漏了一个细节。我能找到的关于这个主题的信息比我的大部分正常工作要密集得多，我需要经常检查两次和三次 :) 再次感谢您参与这个小众问题 - 我什至找不到任何标签它真的属于。
没问题。这类问题最有趣，只是越来越少见了……

标签： c++ algorithm graph-algorithm

【解决方案1】：

大多数缩放算法有效地在节点之间设置“弹簧”，其中弹簧的静止长度是边缘的所需长度。然后他们试图最小化弹簧系统的能量。但是，当您初始化所有节点时，任何一个节点移动时释放的能量在各个方向上都是相同的。因此相对于每个节点位置的能量梯度为零，因此算法将节点留在原处。同样，如果你从一条直线开始，渐变总是沿着这条线，所以节点只会沿着这条线移动。

（在很多方面这是一个有缺陷的解释，但它适用于直觉）

尝试将节点初始化为位于单位圆上、网格上或任何其他方式，以使它们不都是共线的。假设库算法的更新方案是确定性的，那应该为您提供可重现的可视化并避免退化条件。

如果库是非确定性的，要么找到另一个确定性的库，要么打开源代码并将随机生成器替换为使用固定种子初始化的 PRNG。不过，我推荐前一个选项，因为其他更高级的库应该允许您设置您想要“忽略”的边缘。

【讨论】：

感谢您的回答。自从提出这个问题后，我的研究使我相信 MDS 不是解决我的问题的正确方法。（一旦我通过一个可行的替代方案确认了这一点，我将立即更新问题......）这里可能存在术语问题，但据我所知，您所描述的不是 MDS 算法，而是图布局算法。这就是我要使用的，主要基于这篇论文：cs.ubc.ca/~tmm/courses/533/morereadings/dejordy.pdf。 Boost.Graph 实现了几个基于 spring 的图形布局算法。
(愚蠢的评论长度限制...) MDS 算法的一个基本属性（在我读过的文献中描述的）是它们需要一个完整的距离矩阵，即需要每个节点之间的吸引力或排斥力。而图形算法，如基于弹簧的算法，不需要这个。所以感谢您的回答 - 这是我要尝试的。正如我所提到的，一旦我通过实际实施验证了这一点，我将用我的最终结果更新这个问题。
是的，MDS 算法与图形布局算法不同（我想知道您为什么不使用后者，但认为您有自己的理由），但是许多/大多数 MDS 算法总结了一些每对节点之间的成本函数排序，然后使用下坡优化技术来最小化总和的值。在那种情况下，我描述的弹簧隐喻仍然是一个很好的物理类比，它解释了共线起始位置的问题，即使它不是算法的基础，就像它在力导向的图形绘制中一样。无论如何，祝您实施顺利！
好的，我认为您的评论在我回复之前的前几次阅读时都超出了我的想象。你的新评论让它点击了，我想。感谢您将两者结合在一起——事实上，我现在明白了为什么当所有节点都在一条线上开始时，我会看到我看到的行为。鉴于这种心理模型，确实应该可以像您所说的那样“忽略”边缘，尽管这仍然不会给我带来网络“边缘”的节点将像我理解的那样彼此远离的行为，例如Kamada/Kawai 会的，对吗？
是的，MDS 算法会很高兴地显示一棵所有点共线的树，除非你添加人造弹簧来迫使孩子分开。明确用于图形绘制的算法不应该有这个问题。

【解决方案2】：

我已阅读“SimpleMatrix”MDS 库的代码，发现它使用随机置换矩阵来决定点的顺序。固定排列顺序后（只用 srand(12345) 代替 srand(time(0))），相同数据的结果不变。

【讨论】：

【解决方案3】：

显然，对于这个问题，一般来说没有确切的解决方案；只有 4 个节点 ABCD 和距离 AB=BC=AC=AD=BD=1 CD=10 你无法清楚地绘制出合适的 2D 图（甚至不是 3D 图）。

这些算法所做的只是在节点之间放置弹簧，然后模拟排斥/吸引力（取决于弹簧是短于还是长于规定距离），可能还会增加空间摩擦以避免共振和爆炸。

要保持“稳定”图表，只需构建一个解决方案，然后仅更新距离，重新使用先前解决方案的当前位置作为起点。选择两个固定节点并对齐它们似乎是防止缓慢漂移的好主意，但我想说弹簧力永远不会最终产生旋转动量，因此我希望无论如何缩放和居中解决方案就足够了。

【讨论】：