nls() ：“初始参数估计时的误差奇异梯度矩阵”

Question

我已经阅读了许多类似的问题，但仍然找不到答案。 以下是我用来校准以下方程式的一些数据：

set.seed(100)
i <- sort(rexp(n = 100,rate = 0.01))
Tr <- sort(runif(n = 100,min = 5,max = 100))

k_start <- 3259
u_start <- 0.464
t0_start <- 38
n_start <- -1

i_test <- k_start*Tr^u_start * (5 + t0_start)^n_start

m <- nls(i~(k * Tr^u / (5+t0)^n), start = list(k = k_start, u = u_start,
                                               t0 = t0_start, n = n_start))

当我使用nlsLM 时出现同样的错误：

nlsModel(formula, mf, start, wts) 中的错误：初始参数估计处的奇异梯度矩阵

对于起始值，我尝试使用 Python 中的校准值，但仍然出现相同的错误。

还有另一种使用该等式的方法，如下所示： 但是，结果是同样的错误。

d_start <- 43

m <- nls(i ~ (k * Tr^u / d),
         start = list(k = k_start, u = u_start,d=d_start))

当我只使用分子时它可以工作，但这不是我需要的。 任何帮助将不胜感激。

Answer 1

在第一个 nls 中，右侧取决于 k、t0 和 n 仅通过 k / (5+t0)^n 所以它被过度参数化，因为一个参数可以表示 它们的综合作用。在第二个 nls 中，右手边仅取决于 通过 k / d 在 k 和 d 上，问题再次被过度参数化并且 一个参数可以代表它们的综合效果。

去除多余的参数并使用它收敛的线性模型获取起始值。

fit.lm <- lm(log(i) ~ log(Tr))
co <- coef(fit.lm)
fit <- nls(i ~ k * Tr ^ u, start = list(k = exp(co[[1]]), u = co[[2]]))
fit
## Nonlinear regression model
##   model: i ~ k * Tr^u
##    data: parent.frame()
##         k         u 
## 0.0002139 3.0941602 
##  residual sum-of-squares: 79402
##
## Number of iterations to convergence: 43 
## Achieved convergence tolerance: 5.354e-06

互惠模型

下面我们拟合一个“倒数模型”，该模型具有相同数量的参数，但通过偏差（残差平方和）测量的拟合更好。较低的值意味着更好的拟合。

# reciprocal model
fit.recip <- nls(i ~ 1/(a + b * log(Tr)), start = list(a = 1, b = 1))

deviance(fit)
## [1] 79402.17
deviance(fit.recip)
## [1] 25488.1

图形

下面我们绘制了fit（红色）和fit.recip（蓝色）模型。

plot(i ~ Tr)
lines(fitted(fit) ~ Tr, col = "red")
lines(fitted(fit.recip) ~ Tr, col = "blue")
legend("topleft", legend = c("fit", "fit.recip"), lty = 1, col = c("red", "blue"))

（剧情后续）

线性

请注意，plinear 算法可以用作替代算法来拟合上述fit 模型，以避免必须为 k 提供起始值。它还有一个额外的好处，即在这种情况下它需要的迭代次数要少得多（14 对 45）。对于plinear，公式应该省略线性参数k，因为它是算法所暗示的，并且将报告为.lin。

nls(i ~ Tr ^ u, start = list(u = co[[2]]), algorithm = "plinear")
## Nonlinear regression model
##   model: i ~ Tr^u
##    data: parent.frame()
##         u      .lin 
## 3.0941725 0.0002139 
##  residual sum-of-squares: 79402
##
## Number of iterations to convergence: 14 
## Achieved convergence tolerance: 3.848e-06